Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

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Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Ricardobrasil97 em Sab Dez 02 2017, 00:10

Uma televisão é vendida por 2.390,00 reais à vista. A loja no entanto afirma que eu posso comprar hoje e pagar com três meses de carência, ou seja, a primeira prestação vence quatro meses após a compra. Sendo de 506,58 o valor de cada prestação e o plano de pagamento em seis prestações, fora a carência determine a taxa de juros compostos cobrado pela loja. 
Resp do livro: 3,8% a.m

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Dez 05 2017, 21:49

Ricardobrasil97 escreveu:Uma televisão é vendida por 2.390,00 reais à vista. A loja no entanto afirma que eu posso comprar hoje e pagar com três meses de carência, ou seja, a primeira prestação vence quatro meses após a compra. Sendo de 506,58 o valor de cada prestação e o plano de pagamento em seis prestações, fora a carência determine a taxa de juros compostos cobrado pela loja. 
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Solução:

Equação geral de juros compostos em séries financeiras diferidas postecipadas:

PV = PMT \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i\cdot(1+i)^k}

onde:

PV = 2.390,00 = valor presente
PMT = 506,58 = pagamento mensal
k = 3 meses = carência
n = 6 meses = número de meses
i = ?

Resolvendo pelo método de Newton-Raphson:

2390 = 506,58 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-6}}{i\cdot(1+i)^3}

f(i) = \frac{2390}{506,58}\cdot i \cdot \left(1+i \right)^3 + \left(1+i \right)^{-6} - 1 = 0

i = i_0 - \frac{f\left(i_0\right)}{f'\left(i_0\right)}

Fazendo o valor inicial

i_0 = 0,03

tem-se:

i_0 =  0,03000000000000000
i_1 =  0,03817304968833923
i_2 =  0,03800047188997269
i_3 =  0,03799969330430031

\bf{i \approx 3,80\%}


Última edição por Luiz 2017 em Qua Dez 06 2017, 00:07, editado 2 vez(es)

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Ter Dez 05 2017, 22:56

Outra solução:

Resolvendo por equação polinomial:

2390 = 506,58 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-6}}{i\cdot(1+i)^3}

\frac{2390}{506,58}\cdot i \cdot \left(1+i \right)^3 + \left(1+i \right)^{-6} - 1 = 0

4,7179\cdot i \cdot \left(1+i \right)^3 + \left(1+i \right)^{-6} - 1 = 0

Fazendo:

\left(1+i\right) = x

logo:

i = x-1

portanto:

4,7179 \cdot \left(x-1\right) \cdot x^3 + x^{-6} - 1 = 0

4,7179 \cdot \left(x^4-x^3\right) + x^{-6} - 1 = 0

4,7179x^4 - 4,7179x^3 + x^{-6} - 1 = 0

Multiplicando os dois membros por x^6:

4,7179x^{10} - 4,7179x^9 - x^6  + 1 = 0

Pelo Wolfram-Alpha tem-se:

x \approx 1,03800

Como

i = x-1

Tem-se:

\bf{i \approx 3,80\%}

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por jota-r em Qua Dez 06 2017, 11:46

Luiz 2017 escreveu:
Ricardobrasil97 escreveu:Uma televisão é vendida por 2.390,00 reais à vista. A loja no entanto afirma que eu posso comprar hoje e pagar com três meses de carência, ou seja, a primeira prestação vence quatro meses após a compra. Sendo de 506,58 o valor de cada prestação e o plano de pagamento em seis prestações, fora a carência determine a taxa de juros compostos cobrado pela loja. 
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Solução:

Equação geral de juros compostos em séries financeiras diferidas postecipadas:

PV = PMT \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i\cdot(1+i)^k}

onde:

PV = 2.390,00 = valor presente
PMT = 506,58 = pagamento mensal
k = 3 meses = carência
n = 6 meses = número de meses
i = ?

Resolvendo pelo método de Newton-Raphson:

2390 = 506,58 \cdot \frac{1 - (1+i)^{-6}}{i\cdot(1+i)^3}

f(i) = \frac{2390}{506,58}\cdot i \cdot \left(1+i \right)^3 + \left(1+i \right)^{-6} - 1 = 0

i = i_0 - \frac{f\left(i_0\right)}{f'\left(i_0\right)}

Fazendo o valor inicial

i_0 = 0,03

tem-se:

i_0 =  0,03000000000000000
i_1 =  0,03817304968833923
i_2 =  0,03800047188997269
i_3 =  0,03799969330430031

\bf{i \approx 3,80\%}
Bom dia, Luiz.

Tá me parecendo que 0,03 atribuído à primeira aproximação da taxa foi baseado na resposta (gabarito). Supondo que o gabarito não tivesse sido divulgado, como você chegaria a esse valor inicial para aplicação do método?


Um abraço.

jota-r
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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Qua Dez 06 2017, 16:03

jota-r escreveu:
Bom dia, Luiz.

Tá me parecendo que 0,03 atribuído à primeira aproximação da taxa foi baseado na resposta (gabarito). Supondo que o gabarito não tivesse sido divulgado, como você chegaria a esse valor inicial para aplicação do método?


Um abraço.



jota-r:

O que você busca muitos pesquisadores estão buscando há mais de três séculos. Newton criou este método há cerca de 350 anos, mas, infelizmente, não criou uma regra para o valor inicial. Isto desaponta muita gente, inclusive a mim. Mas, a meu ver, aí é que está a graça do negócio. Vai muito da habilidade de cada usuário. Cada caso é um caso. Para taxa de juros, o bom senso e a intuição me dizem que 0,1 está de bom tamanho, pois, na maioria das vezes a taxa está perto disto. O método é muito potente e se encarrega, sozinho, de encontrar o valor com poucas iterações. É óbvio que usei 0,03 como valor inicial por que o Ricardo forneceu o gabarito. Mas se ele não fornecesse o gabarito, eu usaria o "bom senso" e arbitraria 0,1. Veja o que aconteceria:


i_0 =  0,10000000000000000
i_1 =  0,04404369369149208
i_2 =  0,03871500492095947
i_3 =  0,03801396116614342
i_4 =  0,03799973428249359

\bf{i \approx 3,80\%}


Mas poderia também ter utilizado outro valor inicial, tal como 1,0. Veja o resultado:

i_0 =  1,00000000000000000
i_1 =  0,34588003158569340
i_2 =  0,18550236523151400
i_3 =  0,10139539092779160
i_4 =  0,06149252876639360
i_5 =  0,04428773000836372
i_6 =  0,03876596689224243
i_7 =  0,03801589086651802
i_8 =  0,03799974173307419

\bf{i \approx 3,80\%}


Ou poderia ter utilizado 2,0. Veja o resultado:

i_0 =  2,0000000000000000
i_1 =  0,8497401475906372
i_2 =  0,5057915449142456
i_3 =  0,2798274755477905
i_4 =  0,1495244204998016
i_5 =  0,0839730501174926
i_6 =  0,0536871142685413
i_7 =  0,0414436236023902
i_8 =  0,0382619760930538
i_9 =  0,0380020774900913
i_{10} = 0,0379997007548809

\bf{i \approx 3,80\%}


Como vê, o bom senso, a intuição, governam.

É óbvio também que valores iniciais não apropriados podem levar a resultados errôneos. Mas há ainda a técnica de "tentativa e erro". Se necessário uso a fórmula de  Baily-Lenzi para achar o valor inicial e o MNR para determinar o valor exato. O fato é que sempre há uma janela para o valor inicial e por isto, pessoalmente, dentro do domínio das áreas de meu interesse, nunca tive dificuldade para aplicar o método.

Ainda assim, se de tudo não encontrasse um valor inicial apropriado, recorreria à equação polinomial (no Wolfram-Alpha), onde você despreza as raízes complexas e as negativas restando a raiz real positiva como solução.

Sds.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Qua Dez 06 2017, 16:21

Não tente fazer estas contas manualmente. É repetitivo, lento, cansativo e enfadonho e, portanto, sujeito a erros. Eu uso um software que desenvolvi e faz isso automaticamente em segundos. Quem for versado no Excel talvez faça esse aplicativo resolver isto de forma automática. O Wolfram faz e, lógico, muito mais, não sei a versão grátis. O Mathematica também, mas este não tem versão grátis. E outros também.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Dez 08 2017, 00:11

Luiz 2017 escreveu:Não tente fazer estas contas manualmente. É repetitivo, lento, cansativo e enfadonho e, portanto, sujeito a erros. Eu uso um software que desenvolvi e faz isso automaticamente em segundos. Quem for versado no Excel talvez faça esse aplicativo resolver isto de forma automática. O Wolfram faz e, lógico, muito mais, não sei a versão grátis. O Mathematica também, mas este não tem versão grátis. E outros também.


jota-r:

Um professor da UFMG criou um software "online" para cálculo da taxa de juro em séries financeiras uniformes postecipadas e antecipadas (sem entrada e com entrada). Muito bom. Experimente. Vai gostar. Está disponibilizado aqui: http://www.mat.ufmg.br/~regi/topicos/calcju.html

Sds.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por jota-r em Sex Dez 08 2017, 09:19

Luiz 2017 escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Não tente fazer estas contas manualmente. É repetitivo, lento, cansativo e enfadonho e, portanto, sujeito a erros. Eu uso um software que desenvolvi e faz isso automaticamente em segundos. Quem for versado no Excel talvez faça esse aplicativo resolver isto de forma automática. O Wolfram faz e, lógico, muito mais, não sei a versão grátis. O Mathematica também, mas este não tem versão grátis. E outros também.


jota-r:

Um professor da UFMG criou um software "online" para cálculo da taxa de juro em séries financeiras uniformes postecipadas e antecipadas (sem entrada e com entrada). Muito bom. Experimente. Vai gostar. Está disponibilizado aqui: http://www.mat.ufmg.br/~regi/topicos/calcju.html

Sds.
Bom dia, Luiz.

Dei uma primeira olhada e o achei interessante. Obrigado por me tê-lo enviado.

Sds.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por jota-r em Sex Dez 08 2017, 14:09

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
Luiz 2017 escreveu:Não tente fazer estas contas manualmente. É repetitivo, lento, cansativo e enfadonho e, portanto, sujeito a erros. Eu uso um software que desenvolvi e faz isso automaticamente em segundos. Quem for versado no Excel talvez faça esse aplicativo resolver isto de forma automática. O Wolfram faz e, lógico, muito mais, não sei a versão grátis. O Mathematica também, mas este não tem versão grátis. E outros também.


jota-r:

Um professor da UFMG criou um software "online" para cálculo da taxa de juro em séries financeiras uniformes postecipadas e antecipadas (sem entrada e com entrada). Muito bom. Experimente. Vai gostar. Está disponibilizado aqui: http://www.mat.ufmg.br/~regi/topicos/calcju.html

Sds.
Bom dia, Luiz.

Dei uma primeira olhada e o achei interessante. Obrigado por me tê-lo enviado.

Sds.
Luiz, dei mais uma analisada no software e volto a falar sobre ele:


a) ele pode ser aplicado, também, no caso de prestações antecipadas? 


b) parece-me que ele não se aplica quando:


- o financiamento prevê prazo de carência, certo?


- o financiamento é de longuíssimo prazo (como para compra de casa própria, quando, muitas vezes, ele suplanta
15 ou 20 anos).


Um abraço.


 


c)

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sex Dez 08 2017, 16:44

jota-r escreveu:
Luiz, dei mais uma analisada no software e volto a falar sobre ele:


a) ele pode ser aplicado, também, no caso de prestações antecipadas? 
b) parece-me que ele não se aplica quando:
- o financiamento prevê prazo de carência, certo?
- o financiamento é de longuíssimo prazo (como para compra de casa própria, quando, muitas vezes, ele suplanta 15 ou 20 anos).
Um abraço.

a) - Antecipado pode sim. É a opção "com entrada".
    - Postecipado é a opção sem entrada.

b) - Com carência diretamente não. Só se manipular os dados.
    - Longuíssimo prazo pode. Veja ex. abaixo de 20 anos (240 meses) postecipado:


Sds.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por jota-r em Sab Dez 09 2017, 15:44

Luiz 2017 escreveu:Não tente fazer estas contas manualmente. É repetitivo, lento, cansativo e enfadonho e, portanto, sujeito a erros. Eu uso um software que desenvolvi e faz isso automaticamente em segundos. Quem for versado no Excel talvez faça esse aplicativo resolver isto de forma automática. O Wolfram faz e, lógico, muito mais, não sei a versão grátis. O Mathematica também, mas este não tem versão grátis. E outros também.
Boa tarde, Luiz.

Em um de seus posts, você escreveu:

"O que você busca muitos pesquisadores estão buscando há mais de três séculos. Newton criou este método há cerca de 350 anos, 
mas, infelizmente, não criou uma regra para o valor inicial. Isto desaponta muita gente, inclusive a mim. Mas, a meu ver, 
aí é que está a graça do negócio. Vai muito da habilidade de cada usuário. Cada caso é um caso. Para taxa de juros, o bom 
senso e a intuição me dizem que 0,1 está de bom tamanho, pois, na maioria das vezes a taxa está perto disto. O método é muito 
potente e se encarrega, sozinho, de encontrar o valor com poucas iterações. É óbvio que usei 0,03 como valor inicial por que 
o Ricardo forneceu o gabarito. Mas se ele não fornecesse o gabarito, eu usaria o "bom senso" e arbitraria 0,1. Veja o que 
aconteceria:"

A propósito, tenho a comentar, "data Vênia":

Newton morreu há 290 anos, portanto, não poderia ter formulado seu método há 350 anos. Mas isto é o de menos.

Quanto a não existir uma regra para cálculo do valor incial da taxa para a iteração, permita-me discordar do amigo, conforme 
comprovo a seguir:

Fórmula p/cáuculo da taxa a ser utlizada na primeira iteração do método de Newton:

i0 = 2|/n*(1+i)*p, sendo que: | = np - B (n = nº de prestações; p = valor de cada prestação e B = valor financiado).

Ex.:Um empréstimo de $ 30.000,00 é concedido para ser liquidado em 12 prestações iguais mensais e consecutivas de $ 3.104,52.
calcular a taxa de juros cobrada no financiamento, utilizando o método de Newton.

Obs.: taxa exata = 3,5% a.m.


Dados: B = 30000; n = 12; p = 3104,52. 

| = np - B---->| = 12*3104,52 - 30000---->| = 7254,24

i0 = 2*7254,24/[12*(12+1)*3104,52]
---->
i0 = 14508,48/[12*(12+1)*3104,52]
---->
i0 = 14508,48/[12*13*3104,52]
---->
i0 = 14508,48/484305,12
---->
i = 0,03

Essa fórmula se aplica aos casos de série contínuas uniformes pós  fixadas, apenas aquelas que estabelecem prazo de carência,
evitando, assim, que fiquemos reféns do bom sendo, que é uma forma disfarçada de falar "chute". 


Sds.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Sab Dez 09 2017, 17:52

jota-r escreveu:
A propósito, tenho a comentar, "data Vênia":

Newton morreu há 290 anos, portanto, não poderia ter formulado seu método há 350 anos. Mas isto é o de menos.

Quanto a não existir uma regra para cálculo do valor incial da taxa para a iteração, permita-me discordar do amigo, conforme 
comprovo a seguir:

Fórmula p/cáuculo da taxa a ser utlizada na primeira iteração do método de Newton:

i0 = 2|/n*(1+i)*p, sendo que: | = np - B (n = nº de prestações; p = valor de cada prestação e B = valor financiado).

Ex.:Um empréstimo de $ 30.000,00 é concedido para ser liquidado em 12 prestações iguais mensais e consecutivas de $ 3.104,52.
calcular a taxa de juros cobrada no financiamento, utilizando o método de Newton.

Obs.: taxa exata = 3,5% a.m.


Dados: B = 30000; n = 12; p = 3104,52. 

| = np - B---->| = 12*3104,52 - 30000---->| = 7254,24

i0 = 2*7254,24/[12*(12+1)*3104,52]
---->
i0 = 14508,48/[12*(12+1)*3104,52]
---->
i0 = 14508,48/[12*13*3104,52]
---->
i0 = 14508,48/484305,12
---->
i = 0,03

Essa fórmula se aplica aos casos de série contínuas uniformes pós  fixadas, apenas aquelas que estabelecem prazo de carência,
evitando, assim, que fiquemos reféns do bom sendo, que é uma forma disfarçada de falar "chute". 

Sds.



Você foi pesquisar a data da morte de Newton??? Putz!!! Não percebeu? É obvio, meu amigo, que foi um equívoco, um erro de digitação. Onde se lê 350 anos, leia-se 250 anos, e pronto, neste ponto estamos conversados, se é é que isto tem importância para você.

Quanto ao valor inicial, eu disse acima, que uso o bom senso. O que você usou não foi uma regra. Você usou o bom senso, ou seja, uma fórmula aproximativa. Para taxa de juro, qualquer fórmula aproximativa pode ser utilizada que funciona: Baily, Lenzi, Cantrell, Simpson, etc, inclusive esta que você usou.

Eu disse acima: "Se necessário uso a fórmula de Baily-Lenzi para achar o valor inicial e o MNR para determinar o valor exato". Você não comprovou que há uma regra para o valor inicial no MNR. O que você fez foi utilizar uma fórmula aproximativa. Qual seja, você fez o que eu havia dito.

Se é verdade o que você diz, então diga-me: e quando não houver fórmula aproximativa para o valor inicial? O que você faria? Que regra usaria? Nenhuma. Não há. A taxa de juro é um caso particularíssimo por que existem as fórmulas aproximativas.

Afirmo e reafirmo o que eu disse: não há regra geral para o valor inicial no MNR. Se minha afirmação estiver errada, mostre-me uma regra para o valor inicial na resolução pelo MNR da seguinte equação:

3x^8 - logx^5 + senx = 0

Tudo isto sem falar que seu exemplo acima está incoerente: se você já conhece a taxa exata de 3,8%, qual a finalidade de se determinar um valor aproximado de 0,03 para uma taxa, sendo que você já conhece o seu valor exato??? Estranho!!!

Jota-r, não tô entendendo onde você quer chegar com esta escalada. Continuo achando que você está sendo muito exigente comigo.

Há braços.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Dez 10 2017, 12:19

jota-r escreveu:
A propósito, tenho a comentar, "data Vênia":

Newton morreu há 290 anos, portanto, não poderia ter formulado seu método há 350 anos. Mas isto é o de menos.

Newton morreu há 290 anos, mas, se você não sabe, nasceu há 375 anos. Quando formulou suas leis tinha cerca de 25 anos. Portanto o que eu disse está coerente. Com vênias.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por jota-r em Dom Dez 10 2017, 17:30

Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
A propósito, tenho a comentar, "data Vênia":

Newton morreu há 290 anos, portanto, não poderia ter formulado seu método há 350 anos. Mas isto é o de menos.

Newton morreu há 290 anos, mas, se você não sabe, nasceu há 375 anos. Quando formulou suas leis tinha cerca de 25 anos. Portanto o que eu disse está coerente. Com vênias.
Você tem razão, mas como disse acima, isso é irrelevante para nossa conversa.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

Mensagem por Luiz 2017 em Dom Dez 10 2017, 20:36

jota-r escreveu:
Luiz 2017 escreveu:
jota-r escreveu:
A propósito, tenho a comentar, "data Vênia":

Newton morreu há 290 anos, portanto, não poderia ter formulado seu método há 350 anos. Mas isto é o de menos.

Newton morreu há 290 anos, mas, se você não sabe, nasceu há 375 anos. Quando formulou suas leis tinha cerca de 25 anos. Portanto o que eu disse está coerente. Com vênias.
Você tem razão, mas como disse acima, isso é irrelevante para nossa conversa.

Há braços

É irrelevante mas você deu importância a uma mera "data", totalmente fora do foco da questão que é o "método de Newton". De novo, com vênias.

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Re: Questão - 18 - Hazzan - Matemática Financeira

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