OPEMAT - Combinatória (Octaedros)

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OPEMAT - Combinatória (Octaedros)

Mensagem por mateus_buarque em Sab Nov 25 2017, 13:44

(Olimpíada Pernambucana de Matemática - 2017)

Um certo jogo de RPG tornou-se muito popular, como o jogo usava dados octaédricos regulares (como o balão de
são joão), várias indústrias começaram a produzir dados octaédricos. Se uma empresa decide construir apenas
dados tais que os némeros das faces opostas somam 9, qual é o o número de diferentes tipos de dados que podem
ser construídos nestas condições?

MINHA RESOLUÇÃO:

Consideremos as 4 faces superiores do octaedro:

Existem 8 números possíveis p/ a primeira (uma vez que o 9 faria com o que a face oposta tivesse que ser 0, o que não é possível).
Para a segunda face há 6, pois 2 já foram usadas (a escolhida p/ a primeira face e à oposta nessa face). E p/ a terceira 4 e p/ a segunda 2. Portanto, ficamos com 8x6x4x2 = 384 possibilidades, no entanto. No entanto cada combinação é contada 8 vezes (4 rotações de lado X 2 de cima p/ baixo). Logo, há 48 combinações possíveis de octaedros distintos. 

RESOLUÇÃO OFICIAL:

Se queremos impor que as faces opostas somem 9 temos 8x6x4x2 = 384 maneiras de dispor os números. Cada configuração é contada 24 vezes, daí temos apenas 16 dados distintos. 

No gabarito consta que cada configuração foi contada 24 vezes, mas eu não consigo entender como? Por favor alguém tente me explicar por favor!
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mateus_buarque
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Re: OPEMAT - Combinatória (Octaedros)

Mensagem por renan2014 em Sab Dez 02 2017, 10:17

Foi contada 24 vezes porque é a permutação dos 4 pares de lados opostos do octaedro. (4! = 24)
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