Triângulo Russo I (Original)

Decidi postar o exercício original do livro de Lidsky.

348. Em um triângulo isósceles ABC onde o ângulo ABC vale 20º, traça-se 2 pontos (P e Q) nos lados transversos do triângulo ABC, tendo PAC e QCA valendo 50º e 60º respectivamente. Prove que o ângulo APQ vale 80º.



O exercício não dá o triângulo, é necessário desenha-lo.

Ninguém tentará?

Nesta minha solução os pontos tem outro nome:

Seu desenho ...... Minha solução
....... B ........................ A
........ C ........................ B
........ A ........................ C
........ P ........................ E
........ Q ....................... D

Fazendo-se a conversão: APQ (ou CÊD) = 80º

Façamos BC = m.

No Δ isósceles ABC: ângulo ABC = ângulo ACB = (180º - 20º)/2 = 80º ---> ângulo CBE = 80º

Ângulo DBE + ângulo CBD = ângulo ABC---> ângulo DBE + 60º = 80º ---> ângulo DBE = 20º

Ângulo ECD + ângulo ECB = ângulo ACB ---> ângulo ECD + 50º = 80º ---> ângulo ECD = 30º

No Δ CBE: ângulo BEC + ângulo BCE + ângulo CBE = 180º ---> ângulo BEC + 50º + 80º = 180º
----> ângulo BEC = 50º. Logo, o Δ CBE é isósceles (50º, 50º, 80º) e BE = BC = m.

No Δ BDC: ângulo BDC + ângulo DBC + ângulo BCD = 180º ---> ângulo BDC + 60º + 80º = 180º
---> ângulo BDC = 40º.

Agora é que vem o “pulo do gato”:

Marquemos sobre a reta CD um ponto F tal que: ângulo CBF = 20º e tracemos a reta BF. Tracemos também a reta EF.

No Δ BCF: ângulo CFB + ângulo BCF + ângulo CBF = 180º ---> ângulo CFB + 80º + 20º = 180º
---> Ângulo CFB = 80º. Logo, o Δ BCF é isósceles (80º, 80º, 20º) e BF = BC = m.

Ângulo DBF + ângulo CBF = ângulo CBD ---> ângulo DBF + 20º = 40º ---> ângulo DBF = 40º.

No Δ BDF: ângulo BDF = ângulo DBF = 40 º ---> Logo, o Δ FBD é isósceles e DF = BF = m.

No Δ BEF: BE = BF = m, logo o triângulo BEF é isósceles. Logo, ângulo BEF = ângulo BFE =
(180º - ângulo EBF)/2 = (180º – 60º)/2 = 60º. Logo o triângulo BEF é equilátero ---> EF = m.

Ângulo BFC + ângulo BFE + ângulo DFE = 180º ---> 80º + 60º + ângulo DFE = 180º --->
ângulo DFE = 40º.

O Δ FDE é isósceles (EF = DF = m) ---> ângulo DEF = ângulo EDF = (180º - ângulo DFE)/2 ---> ângulo DFE = (180º - 40º)/2 = 70º ---> ângulo EDB + ângulo BDF = ângulo DFE ---> X + 40º = 70º
---> X = 30º.