números primos

Provar que se p é primo, a raiz de p é um número irracional

Vou considerar o seguinte enunciado

Prove que a raiz quadrada de um número primo p, é irracional 

Suponha que não, então a raiz quadrada de p será um inteiros positivo n

√p = n -> p = n²

Mas p é primo, portanto não é um quadrado perfeito, logo não será um número inteiro

Considere então que a raiz quadrada de p é um número racional, ou seja, pode ser escrito como quociente de dois inteiros q e s primos entre si (fração irredutível) e com s diferente de 1

√p = q/s -> p = q²/s² -> ps² = q²

q² | ps²

Como q é primo com s, entao ele não divide s, portanto tem que dividir p

q² | p

Logo, q² = 1 ou q² = s

Se q² = 1

ps² = 1 

Então p divide 1, absurdo ! Pois p é primo 

Se q² = p

ps² = p -> s² = 1

Absurdo, pois s é diferente de 1

Logo √p é irracional

Boa tarde
Muuuito obrigada. Valeu!!!!!