Identidade trigonométrica

√2.sen 10 + √3.cos 35 = sen 55 + 2.cos 65 (I)
Como
2.cos65 = 2.cos (35+30)=2(cos35.cos30 -sen35.sen30)=2[(√3/2)cos35 - (1/2).sen35)]=√3.cos35-sen35
2.cos65 =√3.cos35-sen35 (II)
vamos substituir (II) em (I)
√2.sen10 + √3.cos35 = sen55+√3.cos35-sen35
√2.sen10 + √3.cos35 = sen55+√3.cos35-sen35
√2.sen10 = sen55 + sen35
Agora  lembrando que o ângulo complementar de 10° é 80°, então sen10=cos80, então vamos substituir sen10 por cos80
√2.cos80 = sen55 + sen35 (III)
Vamos guardar a equação III por um momento e trabalharmos com o √2.cos80
√2.cos80 = √2cos(45+35)=√2(cos45.cos35 - sen45.sen35)=√2[(√2/2)cos35 - (√2/2).sen35]=(2/2)cos35 - (2/2).sen35 = cos35 - sen35
√2.cos80 = cos35 - sen35 (IV)
Substituindo (IV) em (III)
cos35 - sen35 = sen55 + sen35
cos35 - sen35 = sen55 + sen35
cos35=sen55
Como 35° e 55° são ângulos complementares essa igualdade é correta
Assim mostramos que √2.sen 10 + √3.cos 35 = sen 55 + 2.cos 65 são iguais

Evaldorcf escreveu:√2.sen 10 + √3.cos 35 = sen 55 + 2.cos 65 (I)
Como
2.sen65 = 2.cos (35+30)=2(cos35.cos30 -sen35.sen30)=2[(√3/2)cos35 - (1/2).sen35)]=√3.cos35-sen35
2.sen65 =√3.cos35-sen35 (II)
vamos substituir (II) em (I)
√2.sen10 + √3.cos35 = sen55+√3.cos35-sen35
√2.sen10 + √3.cos35 = sen55+√3.cos35-sen35
√2.sen10 = sen55 + sen35
Agora  lembrando que o ângulo complementar de 10° é 80°, então sen10=cos80, então vamos substituir sen10 por cos80
√2.cos80 = sen55 + sen35 (III)
Vamos guardar a equação III por um momento e trabalharmos com o √2.cos80
√2.cos80 = √2cos(45+35)=√2(cos45.cos35 - sen45.sen35)=√2[(√2/2)cos35 - (√2/2).sen35]=(2/2)cos35 - (2/2).sen35 = cos35 - sen35
√2.cos80 = cos35 - sen35 (IV)
Substituindo (IV) em (III)
cos35 - sen35 = sen55 + sen35
cos35 - sen35 = sen55 + sen35
cos35=sen55
Como 35° e 55° são ângulos complementares essa igualdade é correta
Assim mostramos que √2.sen 10 + √3.cos 35 = sen 55 + 2.cos 65 são iguais

Eu entendi que você fez uma demonstração que cos35=sen55. É isto?

Outra coisa: você começa dizendo que "2.sen65 = 2.cos (35+30)". Isto quer dizer que sen65=cos65. É isto?

caramba, que erro grotesco kkkk
acabei confundindo as bolas valeu kkk
vou tentar novamente aqui

no caso eu tentei achar uma igualdade, pois se a equação I não for verdadeira, jamais acharíamos uma igualdade no desenvolvimento dos termos, então como achei ela, podemos dizer que a equação I é verdadeira, não?

ei, to olhando os meus cálculos no papel e só copiei errado mesmo, escrevi sen em vez de cos, vou editar, desculpa pelo erro de digitação