Progressão geométrica

Na figura, AB e BC medem, respectivamente, 5 e 4. Então o valor mais próximo da medida de AB+BC+CD+ED+EF+... é:
a) 17
b) 19
c) 21
d) 23
e) 25



gabarito e
Resolução:
Seja, no trângulo ABC ----> A^BC = α ----> cosα = 4/5

Nos demais triângulos teremos: B^CD = C^DE = DÊF = E^FG = F^GH = .... = α

Cada lado é o anterior multiplcado pelo cosα= 4/5

Logo, teremos

S = 5 + 4 + 4*(4/5) + 4*(4/5)² + .... ----> Isto é uma PG decrescente infinita com 1º termo a1 = 4 e razão q = 4/5

S = 5 + a1/(1 - q) ---->S = 5 + 4/(1 - 4/5) ----- S = 5 + 4/(1/5) ----> S = 5 + 20 ----> S = 25


eu não entendi por que ficou 5 + 4 + 4 vezes...................         por que teve que repetir o 4 varias vezes e o 5 não ?

O 4 não se repetirá infinitamente, pois se isso ocorresse, não poderíamos calcular a soma infinita por tratar-se de uma progressão geométrica estacionária. O 5 não irá se repetir simplesmente por as condições do problema não mostrar que ele irá repetir-se de alguma maneira, não se pode inferir isso. Como AB,CD,EF,GH... são todas retas perpendiculares ao cateto adjacente do triângulo de vértices A,B e o terceiro situado no infinito, todas as perpendiculares são paralelas:




Formam uma progressão geométrica infinita de primeiro termo igual a 4 e de razão 4/5:



Problemas como esse eram paradoxais para os antigos. Eles simplesmente não conseguiam entender que uma soma convergindo para o infinito poderia dar um valor finito  :x. Seríamos verdadeiros deuses da matemática para eles outrora, duro seria apenas demonstrar que é verdade sem utilizar o conceito de limites.

muito obrigado!

Olá amigo , só tenho mais uma pergunta  .  Cos A^BD = 4/5  vc quis escrever Cos A^BC = 4/5 ??

e  cos B^CD = Cos A^BD   pois os ângulos C e  B são alternos e internos , estou certo ?

O correto é cos(A^BC)
Você está correto: são alternos e internos.

Muito obrigado , mestre !