Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
ITA
Os coeficientes A,B,C e D do polinômio P(x)=Ax³+Bx²+Cx+D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta para que isto se verifique:
Gabarito:
C=B²/3A
D=B³/27A²
Os coeficientes A,B,C e D do polinômio P(x)=Ax³+Bx²+Cx+D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta para que isto se verifique:
Gabarito:
C=B²/3A
D=B³/27A²
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Ax³ + Bx² + Cx + D = (k*x + m)³
Ax³ + Bx² + Cx + D = k³*x³ + 3k²m*x² + 3km²*x + m³
k³ = A ----> k = A^(1/3) ----> I
3k²m = B ----> 3*A^(2/3)*m = B ----> II
m³ = D ----> m = D^(1/3) ----> III
I e III em II ----> 3*A^(2/3)*D^(1/3) = B ----> Elevando ao cubo:
27A²*D = B³ -----> D = B³/27A²
C = 3km² = 3.(A^1/3).(D^1/3)² = 3.(A^1/3).D^(2/3) = 3.A^(1/3)[B³/27^(1/3).A²]^2/3
C = 3.A^(1/3).B²/3².A^(4/3) ---> C = B²/3.A
Outra solução usando Girard e lembrando que o polinômio tem 3 raízes iguais a r
r + r + r = - B/A ----> 3r = -B/A ----> r = - B/3A
r*r*r = - D/A ----> r³ = - D/A -----> (-B/3A)³ = -D/A ----> B³/27*A3 = D/A ----> D = B³/27*A²
Ax³ + Bx² + Cx + D = k³*x³ + 3k²m*x² + 3km²*x + m³
k³ = A ----> k = A^(1/3) ----> I
3k²m = B ----> 3*A^(2/3)*m = B ----> II
m³ = D ----> m = D^(1/3) ----> III
I e III em II ----> 3*A^(2/3)*D^(1/3) = B ----> Elevando ao cubo:
27A²*D = B³ -----> D = B³/27A²
C = 3km² = 3.(A^1/3).(D^1/3)² = 3.(A^1/3).D^(2/3) = 3.A^(1/3)[B³/27^(1/3).A²]^2/3
C = 3.A^(1/3).B²/3².A^(4/3) ---> C = B²/3.A
Outra solução usando Girard e lembrando que o polinômio tem 3 raízes iguais a r
r + r + r = - B/A ----> 3r = -B/A ----> r = - B/3A
r*r*r = - D/A ----> r³ = - D/A -----> (-B/3A)³ = -D/A ----> B³/27*A3 = D/A ----> D = B³/27*A²
Última edição por Elcioschin em Sáb 18 Jun 2016, 09:32, editado 1 vez(es)
Elcioschin- Grande Mestre
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Data de inscrição : 15/09/2009
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Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Vlw Elcioschin
Adam Zunoeta- Monitor
- Mensagens : 4223
Data de inscrição : 25/08/2010
Idade : 34
Localização : Cuiabá
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Olá, sempre quando um polinômio é cubo perfeito, quadrado perfeito, etc, as raízes são iguais?
marcoscamiloads@gmail.com- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 07/01/2016
Idade : 28
Localização : Bocaina de Minas
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Sim, as raízes são iguais.
Veja, por exemplo, o polinômio P(x) = x³ - 3.x² + 3x - 1
Fatorando, temos ---> P(x) = (x - 1)³
O polinômio tem uma raiz tripla x = 1
Veja, por exemplo, o polinômio P(x) = x³ - 3.x² + 3x - 1
Fatorando, temos ---> P(x) = (x - 1)³
O polinômio tem uma raiz tripla x = 1
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Muito obrigado!
marcoscamiloads@gmail.com- Iniciante
- Mensagens : 5
Data de inscrição : 07/01/2016
Idade : 28
Localização : Bocaina de Minas
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Pessoal, eu cheguei à
9AD = BC
E substituindo os valores da resposta, de fato, confere.
Esta condição que eu achei também está certa, ou não é suficiente?
9AD = BC
E substituindo os valores da resposta, de fato, confere.
Esta condição que eu achei também está certa, ou não é suficiente?
Lucasdeltafisica- Jedi
- Mensagens : 484
Data de inscrição : 02/09/2017
Idade : 21
Localização : SSPSPSPSP
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Infelizmente o colega que postou a questão, há mais de 8 anos atrás, esqueceu de postar as alternativas. Pesquisando hoje na internet, descobri a questão completa:
Os coeficientes A, B, C, D do polinômio P(x) = Ax³+Bx²+Cx+D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta para que isto se verifique:
(a) D=C²A/3B (b) C=B/3A³ (c) BC=3, (d) D = B²/27A³
Assim, embora sua resposta esteja correta, ela não consta das alternativas.
Os coeficientes A, B, C, D do polinômio P(x) = Ax³+Bx²+Cx+D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta para que isto se verifique:
(a) D=C²A/3B (b) C=B/3A³ (c) BC=3, (d) D = B²/27A³
Assim, embora sua resposta esteja correta, ela não consta das alternativas.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
Quando você utilizou um cubo genérico, você usou "(k*x+m)^3", por quê?
Tentei resolver utilizando algo como (k+m)^3 e a alternativa correta foi a "A". Eu não entendi porquê a resposta não é a mesma.
Tentei resolver utilizando algo como (k+m)^3 e a alternativa correta foi a "A". Eu não entendi porquê a resposta não é a mesma.
BL2020- Iniciante
- Mensagens : 2
Data de inscrição : 15/01/2020
Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito
k , m são constantes, logo (k + m)³ é outra constante, logo, não é um polinômio!
Para ser um polinômio P(x), tem que existir x no monômio elevado ao cubo.
Para ser um polinômio P(x), tem que existir x no monômio elevado ao cubo.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71436
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
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