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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por Adam Zunoeta Seg 16 Maio 2011, 07:07

ITA
Os coeficientes A,B,C e D do polinômio P(x)=Ax³+Bx²+Cx+D devem satisfazer certas relações para que P(x) seja um cubo perfeito. Assinale a opção correta para que isto se verifique:

Gabarito:
C=B²/3A

D=B³/27A²
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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por Elcioschin Seg 16 Maio 2011, 09:52

Ax³ + Bx² + Cx + D = (k*x + m)³

Ax³ + Bx² + Cx + D = k³*x³ + 3k²m*x² + 3km²*x + m³

k³ = A ----> k = A^(1/3) ----> I

3k²m = B ----> 3*A^(2/3)*m = B ----> II

m³ = D ----> m = D^(1/3) ----> III

I e III em II ----> 3*A^(2/3)*D^(1/3) = B ----> Elevando ao cubo:

27A²*D = B³ -----> D = B³/27A²

C = 3km² = 3.(A^1/3).(D^1/3)² = 3.(A^1/3).D^(2/3) = 3.A^(1/3)[B³/27^(1/3).A²]^2/3

C = 3.A^(1/3).B²/3².A^(4/3) ---> C = B²/3.A



Outra solução usando Girard e lembrando que o polinômio tem 3 raízes iguais a r

r + r + r = - B/A ----> 3r = -B/A ----> r = - B/3A

r*r*r = - D/A ----> r³ = - D/A -----> (-B/3A)³ = -D/A ----> B³/27*A3 = D/A ----> D = B³/27*A²


Última edição por Elcioschin em Sab 18 Jun 2016, 08:32, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Adam Zunoeta Seg 16 Maio 2011, 16:12

Vlw Elcioschin
Very Happy
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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por marcoscamiloads@gmail.com Qui 16 Jun 2016, 07:50

Olá, sempre quando um polinômio é cubo perfeito, quadrado perfeito, etc, as raízes são iguais?

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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por Elcioschin Qui 16 Jun 2016, 09:17

Sim, as raízes são iguais.

Veja, por exemplo, o polinômio P(x) = x³ - 3.x² + 3x - 1

Fatorando, temos ---> P(x) = (x - 1)³

O polinômio tem uma raiz tripla x = 1
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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por marcoscamiloads@gmail.com Sex 17 Jun 2016, 10:08

Muito obrigado!

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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por Lucasdeltafisica Sex 13 Dez 2019, 17:56

Pessoal, eu cheguei à
9AD = BC

E substituindo os valores da resposta, de fato, confere.

Esta condição que eu achei também está certa, ou não é suficiente?
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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por Elcioschin Sex 13 Dez 2019, 19:34

Infelizmente o colega que postou a questão, há mais de 8 anos atrás, esqueceu de postar as alternativas. Pesquisando hoje na internet, descobri a questão completa:

Os coeficientes A, BCD do polinômio P(x) = Ax³+Bx²+Cx+D devem satisfazer certas relações para que P(xseja um cubo perfeitoAssinale a opção correta para que isto se verifique


(a) D=C²A/3B (bC=B/3A³  (cBC=3, (d) D = B²/27A³ 


Assim, embora sua resposta esteja correta, ela não consta das alternativas.
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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por BL2020 Qua 15 Jan 2020, 19:10

Quando você utilizou um cubo genérico, você usou "(k*x+m)^3", por quê?
Tentei resolver utilizando algo como (k+m)^3 e a alternativa correta foi a "A". Eu não entendi porquê a resposta não é a mesma.

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Relações para que P(x) seja um cubo perfeito Empty Re: Relações para que P(x) seja um cubo perfeito

Mensagem por Elcioschin Qui 16 Jan 2020, 20:00

k , m são constantes, logo (k + m)³ é outra constante, logo, não é um polinômio!

Para ser um polinômio P(x), tem que existir x no monômio elevado ao cubo.
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