Qual dos valores abaixo divide a ?

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Qual dos valores abaixo divide a ?

Mensagem por superaks em Qua Set 06 2017, 19:58

Sejam a e b números inteiros tais que



\dfrac{a}{b} =1- \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-  ...-\dfrac{1}{2014}+\dfrac{1}{2015}

Qual dos valores abaixos divide a ?


A - 34
B - 3029
C - 2015
D - 3023
E - 3031
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Re: Qual dos valores abaixo divide a ?

Mensagem por KlausITA2018 em Qui Set 07 2017, 12:38

Eu fiz assim:
Todo essas somas menos o último termo é igual a x.
x+ 1/2015=(2015x+1)/2015.
Está na forma irredutível (por quê?).
Para x=3 temos 6046.

Sei lá, mas a gambiarra funcionou. Se está certo ou não....

KlausITA2018
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Re: Qual dos valores abaixo divide a ?

Mensagem por superaks em Qui Set 07 2017, 18:24

Ok, mas porque escolher x = 3?

6046 = 2 . 3023

2 não divide a.

Veja. A maior potência de 2 que que aparece no mmc de toda essa operação, é o 2^(10) = 1024. Não poderia ser 2^(11) pois é maior que 2015.

Então mmc(1, 2, ..., 2015) = l . 2^(10), onde l é ímpar

O numerador se toda essa operação seria,

l . 2^(10)/l . 2^(10) - [(l . 2^(10))/2]/l . 2^(10) + ... + [(l . 2^(10))/2015]/l . 2^(10)

É fácil notar que 2 divide as 2014 parcelas, porque o único número que tiraria o 2^(10) do mmc é o próprio 2^(10), então 2 não dividiria uma parcela das 2015, portanto 2 não divide a

Eu ainda não vejo como isso pode funcionar

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