Teoremas de geometria

Assim como temos teoremas famosos(Tales e Pitágoras),também temos vários outros poucos conhecidos como o de Ptolomeu e Menelaus que vez ou outra aparecem em vestibulares militares.Queria que o pessoal do fórum compartilhasse mais alguns a título de conhecimento.

Teorema de Ceva, Potência de um ponto, Teorema de Pitot...são alguns que me vêm na cabeça. Devore os livros do Morgado de geometria que verá bastante coisa interessante!

Teorema de Hiparco: Num quadrilátero inscritível, a razão entre as diagonais é igual a soma dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais (facilmente demonstrável).

Teorema de Euler: A soma dos quadrados dos lados de um quadrilátero qualquer é igual a soma dos quadrados das diagonais acrescida de 4 vezes o quadrado da Mediana de Euler (demonstração difícil).

Teorema do Ortocentro, Circuncentro e Baricentro: Num triângulo, o Ortocentro, o Circuncentro e o Baricentro estão alinhados (demonstrado por Euler, também difícil).

Os dois seguintes não são úteis em vestibulares ou concursos, fica a cargo apenas de seu conhecimento:

Reta de Simson-Wallace: Dado um triângulo inscrito num círculo e um ponto qualquer pertencente a esse círculo, tomando as projeções desse ponto nos prolongamentos dos lados do triângulo e unindo-se as intersecções, teremos o alinhamento desses pontos e a reta que os contém é chamada de Reta de Simson.

Sobre a Reta de Simson, não sei se o teorema é exatamente esse, mas só seu enunciado ''aproximado'' já nos dá a dimensão de sua ''utilidade'' .

Teorema de Napoleão Bonaparte: Dado um triângulo qualquer e os três triângulos equiláteros referentes a cada lado do triângulo dado, unindo-se seus Baricentros encontra-se um triângulo equilátero (facilmente demonstrável).

Sendo antagonista ao tópico, poderíamos criar um sobre teoremas tão óbvios mas tão óbvios que chegam a provocar um teor filosófico e paradoxal. Por exemplo, Euclides enunciou o poderosíssimo teorema em "Os Elementos" chamado ''Princípio do Meio Excluído".

Princípio do Meio Excluído : ''Uma proposição dada ou é verdadeira ou é falsa''

Teorema de Marlen: Em um retângulo, a soma dos quadrados das distâncias de um ponto qualquer ao seus vértices opostos é igual.

Esse teorema de Simson-Wallace já resolveu uma questão do IME complicada facilmente. Só não sei se posso enunciar esses teoremas sem prová-los na prova. Alguém sabe?

Giovanna, poderia editar sua mensagem e enunciá-lo? Pois provoca curiosidade. Klaus, o IME adora esses teoremas que os colegas estão compartilhando, a banca já cobrou a demonstração da Relação de Hiparco. Já houve uma discussão aqui no fórum a respeito de utilizá-los sem demonstrá-los, a resposta é: Sim!, pode utilizar, contanto que explicite bem seu uso e mostre seu raciocínio concretamente. E sejamos sinceros, até parece que a banca do IME não os conhece.

Ajustado.

Valeu, Willian.

Willian,
num livro de matemática que li é dito que a banca do IME é muito rigorosa, e uma mera aplicação de fórmulas não renderia o valor total da questão.

Seria interessante então entender a demonstração desses teoremas para aplicar na prova e ganhar todo o ponto. Só um adendo, o Teorema de Hiparco que aqui anunciei está errado, o correto é: a razão entre as diagonais (de um quadrilátero inscritível) é igual a razão da soma dos produtos dos lados que concorrem com as respectivas diagonais.