Potência, Energia cinética e gravitacional

Questão oficial: 

Duas pequenas esferas, cada uma com massa de 0,2 kg, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de 10 cm de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece 4 W de potência mecânica. A figura a seguir ilustra o sistema. No instante t = 0, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo. Determine



a) a energia cinética total E das esferas em t = 5 s; 
b) a velocidade angular ω de cada esfera em t = 5 s; 
c) a intensidade F da força entre cada esfera e a haste, em t = 5 s; 
d) a aceleração angular média α de cada esfera, entre t = 0 e t = 5 s


O que quero saber:

E se o motor tivesse feito as esferas subirem rodando? Poderia dizer que a energia mecanica se conserva e parte da energia cinética fora transformada em enegia potencial gravitacional? Consequentemente, a velocidade depois do deslocamento seria menor até parar? Poderiamos ter um MHS?

P = 4 W ----> ∆E = 4 J/s * ∆t

A energia fornecida pelo motor seria igual a energia mecânica
∆E = Em
∆E = E_pg + E_c

Logo, a variação da altura em função da energia fornecida seria dado por:

4 J/s * ∆t = m.v^2/2 + m.g.∆h
∆h = (4.∆t/m - v^2/2)/g

Tanto no problema original quanto na situação por você proposta a energia não se conserva. Podemos chegar nessa conclusão de duas formas. 

Pensando puramente em energia, é simples: qualquer que seja o caso, a potência despendida pelo motor injeta energia no sistema composto pelas duas massas. Portanto, E_m aumenta.

Pensando em dinâmica, no primeiro caso, o motor impõe sobre cada massa uma força tangente à trajetória circular por elas descrita, realizando um trabalho positivo e elevando a E_c. No segundo caso, a força feita pelo motor tem duas componentes, uma tangencial à trajetória circular de cada instante e outra vertical responsável por elevar as massas. Ambas realizam trabalho positivo, e portanto aumentam E_m.

Essas constatações só mostram que, para modelar o problema, será preciso um princípio mais geral que a conservação de energia. O Teorema da Energia Cinética (também chamado Princípio do Trabalho Total) funciona bem:



Na situação em que o motor sobe junto com as massas, vamos adotar os eixos cartesianos padrão, com a origem no centro do motor por simplicidade. O sistema estudado será composto pelas duas massas, ambas começando com y = 0. Além do motor, apenas o peso realiza trabalho sobre o sistema.

Levando em conta a simetria da situação (tudo que acontece com uma massa também acontece com a outra), e chamando v_t a velocidade tangencial e v_y a vertical, podemos escrever o balanço energético do início ao instante t:



Algumas simplificações são possíveis. Podemos fazer uma mudança de notação e escrever v² = v_t² + v_y² para simplificar a expressão. Também podemos supor que as massas são elevadas sempre com velocidade vertical instantânea muito pequena, de modo que v_y ≈ 0 (mas nesse caso, cuidado para não entrar em contradição com a velocidade vertical média v_ym = y/∆t, que também precisará tender a zero).

Repare que não há como ocorrer um MHS, porque o sistema não oscila: se a força vertical imprimida pelo motor sobre cada massa for maior que o peso, a massa sobe; caso contrário ela permanece estacionada.