Jogo de Dados

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Jogo de Dados

Mensagem por Edsonrs em Sex Ago 11 2017, 21:22

Já postei esse tópico (mais de um ano?). Como ninguém sabe está aqui como desafio.


Quando jogamos um dado a probabilidade de obtermos um determinado resultado (entre 1 e 6) é igual a 1/6. 
Se forem dois dados os resultados possíveis, entre 2 e 12, terão a seguinte distribuição: 
2: 2/72,
3: 4/72, 
4: 6/72, 
5: 8/72 
6: 10/72, 
7: 12/72, 
8: 10/72, 
9: 8/72, 
10: 6/72, 
11: 4/72,
e 12:2/72
A questão é: Qual é a fórmula para um número N qualquer de dados que dê a probabilidade de se obter um dado resultado entre n e 6n?

Edsonrs
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Re: Jogo de Dados

Mensagem por Carlos Adir em Dom Ago 27 2017, 23:15

Suponha que você tenha n dados.

Antes dar a resposta, vamos utilizar equações diofantinas para auxiliar.
Mas o que é uma equação diofantina? Bem, é algo do tipo:



Onde se estivessemos trabalhando no conjunto dos reais, teríamos infinitas soluções e estas soluções estariam sobre uma reta. Mas no caso de equações diofantinas, temos mais duas condições:
1) Todas as variáveis devem ser inteiras
2) Todas as variáveis devem ser não-negativas.

Neste caso, temos que a solução da equação diofantina acima é dada por {(0, 2), (1, 1), (2, 0)}. Ou seja, 3 soluções.

Certo, agora vamos um pouco mais além, vamos utilizar uma forma genérica de equação diofantina que é dada por:



Precisamos saber o número de resultados dessa equação diofantina. Suponhamos que tenhamos uma função chamada f(n, p) que indica o número de soluções da equação acima. No caso de 'a' e 'b', n=2 e p=2, então f(2, 2) = 3.
Para descobrir, suponhamos que x_n = 0 por um momento, assim temos que uma parte das soluções se resume a:

E no caso em que x_n = 1:

E analogamente até x_n = p, temos:


Assim, temos que:


Por outro lado, temos que


Logo, temos a nossa relação para a função:


Essa relação é satisfeita se nossa função for o binômio de Newton:





Certo, agora vamos à questão. Por que precisamos disso? Porque nosso problema se resume a resolver equação diofantina. Se nomearmos nossos dados de x_1, x_2, ..., x_n, teremos então que para obter um numero p é simplesmente:

Mas temos um problema. Nossos dados não aceitam valores maiores de 6 e nem o valor 0. Assim, teremos de adaptar nossa função para que sirva. Neste caso, temos que:

Logo, temos a relação:

Como nossa estimativa é que n ≤ p ≤ 6n, não podemos dizer certamente qual é a probabilidade, alguma fórmula fechada. Por esse motivo, o calculo de probabilidade dessa função é árdua e frequentemente é utilizado uma aproximação que é a aproximação de Poisson.

____________________________________________
← → ↛ ↔️ ⇌ ⇔ ⇐ ⇒ ⇏ ➥
⁰ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ⁺ ⁻ ⁼ ⁽ ⁾ º ª ⁿ ⁱ
₀ ₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔ
∴ ≈ ≠ ≡ ≢ ≤ ≥ × ± ∓ ∑ ∏ √ ∛ ∜ ∝ ∞
∀ ∃ ∈ ∉ ⊂ ⊄ ⋂ ⋃ ∧ ∨ ℝ ℕ ℚ ℤ ℂ
⊥ ║ ∡ ∠ ∢ ⊿ △ □ ▭ ◊ ○ ∆ ◦ ⊙ ⊗ ◈
Αα Ββ Γγ Δδ Εε Ζζ Ηη Θθ Ιι Κκ Λλ Μμ Νν Ξξ Οο Ππ Ρρ Σσς Ττ Υυ Φφ Χχ Ψψ Ωω ϑ ϒ ϖ ƒ ij ℓ
∫ ∬ ∭ ∳ ∂ ∇ 
♏️  ℛ ℜ ℰ ℳ ℊ ℒ
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Re: Jogo de Dados

Mensagem por Edsonrs em Seg Ago 28 2017, 12:08

Obrigado. Estou estudando a resposta.

Edsonrs
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Re: Jogo de Dados

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