O que se pode dizer sobre a raiz a equação

por superaks Qui 10 Ago 2017, 22:32

Se x=\sqrt{a}, com a\in\mathbb{R}, é raiz da equação

\dfrac{2 + x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}+\dfrac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}} = \sqrt{2}

Então

A - então a é um número par menor do que 7.
B - a é um número inteiro que possuo quatro divisores positivos.
C - a é um número par maior do que 11
D - a é um número ímpar maior do que 20.
E - a é um número primo

por **fantecele** Sex 11 Ago 2017, 00:14

$\\\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}=\sqrt{2}\\\\\frac{2+x}{\sqrt{2}+\sqrt{2+x}}.\left ( \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2+x}}{\sqrt{2}-\sqrt{2+x}} \right )+\frac{2-x}{\sqrt{2}-\sqrt{2-x}}.\left ( \frac{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}}{\sqrt{2}+\sqrt{2-x}} \right )=\sqrt{2}\\\\\frac{(2+x)(\sqrt{2}-\sqrt{2+x})}{-x}+\frac{(2-x)(\sqrt{2}+\sqrt{2-x})}{x}=\sqrt{2}$

Desenvolvendo a expressão acima iremos encontrar:

$\\(2+x)(\sqrt{2+x})+(2-x)(\sqrt{2-x})=3x\sqrt{2}$

Fazendo "√(2 + x) = z" e "√(2 - x) = y"

$\\z^3+y^3=3x\sqrt{2}\\(z+y)(z^2-zy+y^2)=3x\sqrt{2}$

Perceba que z² + y² = 4, dessa forma:

$\\(z+y)(z^2-zy+y^2)=3x\sqrt{2}\\(z+y)(4-zy)=3x\sqrt{2}\\\\\text{Elevando ao quadrado:}\\\\(z^2+2zy+y^2)(16-8zy+(zy)^2)=9x^2.2\\(4+2zy)(16-8zy+(zy)^2)=9x^2.2\\\\\text{Desenvolvendo:}\\\\(zy)^3-6(zy)^2+32-9x^2=0$

zy = √(2 - x)√(2+x) = √(4 - x²)
(zy)² = 4 - x²

(√(4 - x²))³ - 6(4 - x²) + 32 - 9x² = 0
(√(4 - x²))³ = 3x² - 8

O enunciado nos diz que x = √(a), então x² = a, substituindo na relação acima:

(√(4 - a))³ = 3a - 8

Elevando ao quadrado:

(4 - a)³ = (3a - 8.)²
4³ - 3.4².a + 3.4.a² - a³ = 9a² - 48a + 64
64 - 48a + 12a² - a³ = 9a² - 48a + 64
a³ - 3a² = 0
a²(a - 3) = 0
a = 0 ou a = 3

Substituindo em "(2 + x)(√(2 + x)) + (2 - x)(√(2 - x)) = 3x√2" percebemos que o valor de "a" que satisfaz a relação é para a = 3.