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encontre dois numeros

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Mensagem por maarcelofranco Seg 09 Maio 2011, 02:32

Encontre dois numeros cujo produto é 192 e que a soma do primeiro com o segundo seja minima. por maximo e minimos...

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Mensagem por ivomilton Seg 09 Maio 2011, 17:08

@maarcelofranco escreveu:Encontre dois numeros cujo produto é 192 e que a soma do primeiro com o segundo seja minima. por maximo e minimos...

192 = 2^6 * 3

1 2 4 8 16 32 64
3 6 24 48 96 192

Pares de fatores que recompõem 192:
1*192
2*96
3*64
4*48
6*32
8*24
12*16

A menor soma dos elementos constituintes dos pares de fatores é aquela em que os fatores mais se aproximam da raiz quadrada de 192, e √192 = 13,85... e é, também, onde se dá a "virada" na lista dos pares.

Note, descendo (à esquerda) na listagem supra, a sequência 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e depois, subindo, 16, 24, 32, 48, 64, 96 e 192.

Assim, a menor soma é 12+16 = 28.







Um abraço.
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Mensagem por Euclides Seg 09 Maio 2011, 17:32

Nosso companheiro e mestre Elcioschin, há algum tempo colocou uma questão sobre o assunto, a partir da qual chegava-se à conclusão que para um número dado, resultado do produto de dois outros, a menor soma desses fatores ocorre quando ambos são iguais. Se o Elcio se lembrar onde está essa questão seria bom colocar o link dela aqui.

Nessa questão não é exigido que os números sejam inteiros, ou racionais. Logo deverão ser ambos iguais a sqrt{192}. Uma demonstração através de derivação é


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Mensagem por ivomilton Seg 09 Maio 2011, 20:45

@Euclides escreveu:Nosso companheiro e mestre Elcioschin, há algum tempo colocou uma questão sobre o assunto, a partir da qual chegava-se à conclusão que para um número dado, resultado do produto de dois outros, a menor soma desses fatores ocorre quando ambos são iguais. Se o Elcio se lembrar onde está essa questão seria bom colocar o link dela aqui.

Nessa questão não é exigido que os números sejam inteiros, ou racionais. Logo deverão ser ambos iguais a sqrt{192}. Uma demonstração através de derivação é


Boa noite, amigo Euclides!

Pois é, eu não atentei para o fato de os dois números não precisariam ser inteiros.
Como estou acostumado a lidar muito com números inteiros, essa possibilidade passou-me desapercebida.
É claro que, não tendo essa limitação, a menor soma dos dois menores fatores possíveis será mesmo:
8√3 + 8√3 = 16√3.





Um abraço.
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Mensagem por rihan Ter 13 Set 2011, 07:41

Como sou novato, acredito, pelo o que li das nossas regras, que não podemos usar conhecimentos universitários, ou seja, atualmente o Cálculo Diferencial e Integral só é lecionado no nível universitário.

Além disso, o prezado Euclides deveria, ou estudar a variação de sinal de S', ou verificar o sinal de S'' para o valor do extremo estudado (8√3), para saber se o extremo seria um mínimo ou um máximo.

Desenvolvi uma solução que não necessita de conhecimentos ditos universitários.

Mas, aproveitando o ensejo, vai um protesto veemente ao ensino atual de matemática:

Acho inaceitável que durante 12 a 13 anos de ensino, os conceitos de limites, derivadas, diferenciais e integrais não sejam lecionados, como o eram na minha época, antes do ciclo universitário, já que, tanto o ITA quanto o IME assim o exigiam em seus vestibulares.

Parte-se do princípio que a gurizada é imbecil e incapaz de compreender esses "elevados" conhecimentos, quando não é verdade, pois já comprovei isso por mim mesmo, tanto como aluno, como quando lecionava Cálculo no 3° ano do então colegial-científico.


1º Caso: y >= x > 0

xy > 0

x + y > 0

/
| xy = 192
|
| x + y = m
\

/
| 4xy = 4*192
|
| (x + y)² = m²
\

/
| 4xy = 4*192 (I)
|
| x² + y² + 2xy = m² (II)
\

(II) - (I) : x² + y² - 2xy = m² - 4*192


m² - 4*192 = (x - y)²

m² = (x - y)² + 4*192

Fazendo-se z = x - y

m² = z² + 4*192

Que obviamente é mínima para z = 0, já queé sempre positivo ou nulo.

Se é mínima para z = 0, m também é mínima, já que m > 0.

z = 0 ---> x - y = 0 ---> x = y

z = 0 ---> m² = 4*192 ---> m² = 2²* 2³ * 2³ * 3 ---> m = 16√3

x + y = x + x = 2x = 16√3

x = y = 8√3 □


Última edição por rihan em Ter 13 Set 2011, 14:10, editado 1 vez(es)

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Mensagem por rihan Ter 13 Set 2011, 08:12

Outra solução, bem mais simples:

Supondo-se y >= x > 0

y - x = d >= 0 --> y = x + d e também d >= 0

S = x + y

S = x + (x + d)

S = 2x + d

S é mínima quando d é minimo, como d >=0, d é mínimo para d = 0

Se d = 0, y = x e S mínima é 2x

É dado:

xy = 192

x*x = 192

x = 8√3 = y

S mínima é 16√3


Última edição por rihan em Ter 13 Set 2011, 14:12, editado 1 vez(es)

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Mensagem por Elcioschin Ter 13 Set 2011, 12:34

Eis a solução que eu apresentei anteriormente:

Seja a o número a ser decomposto em duas partes, a fim de que o produto das duas partes seja máximo.

Este número deverá ser decomposto nas partes a/2 + x e a/2 - x

Obs.: x é a diferença das partes para com a metade de a

Produto ----> P = (a/2 - x)*(a/2 + x) ----> P = a²/4 - x²

É óbvio que o valor máximo de P ocorre quando ocorrer o valor mínimo de x, isto é, quando x = 0.

Neste caso, as duas partes deverão ser IGUAIS

Outra explicação:

A função P = a²/4 - x² é uma parábola com a concavidade voltada para baixo. O valor máximo de P ocorre no vértice dado por:

xV = - b/2a ----> xV = 0/2*(-1) ----> xV = 0
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Mensagem por rihan Ter 13 Set 2011, 14:02

Mas o produto máximo implica em soma mínima ?

Teria que ser demonstrado.

Ou o companheiro estava somente atendendo ao pedido de repostagem ?

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Mensagem por rihan Ter 13 Set 2011, 15:25

As soluções apresentadas restringem o Universo do discurso aos Reais Positivos, mas, lendo atentamente o problema proposto, não há tal restrição.

A única restrição, advinda das informações fornecidas, é que nem x nem y podem ser nulos, já que o produto deles não é nulo ( 192 ).

Como no campo complexo não há noção de ordem, o Universo é necessariamente o conjunto dos Reais com o ZERO excluído. ( ℝ-0 ou ℝ*).

Um segundo caso, então, pode e deve ser estudado:

2º Caso: x ≤ y < 0

Nas soluções por mim apresentadas para ℝ+ o mínimo se obtinha com a diferença quadrada ( x - y )² mínima ou a diferença ( x - y ) mínima.

Nesse caso inverte-se o raciocínio, i.e., as diferenças têm que ser máximas para x ≤ y ou mínima para y ≤ x, o que é conseguido com os extremos da solução de

x*y = 192, para x e y < 0

Sendo xy = 192 uma hipérbole, não há extremos, mas uma assíntota vertical e uma horizontal, isto é, quando x tende a -0, y tende a -∞ e vice-versa,o que daria, no caso de ( x - y ), onde x ≤ y,a diferença tendendo a -∞ e que certamente seria a mínima ...

Mas, nem tudo são flores quando estamos nesse terreno de tender a -0 ( ou 0- ou pela esquerda do zero, ou zero por falta) e -∞ os componentes de um par multiplicativo...

Não teríamos um par definido.

Se falássemos em x = -0,000 000 001 e y = -192 000 000 000

Alguém poderia vir com x = -0,000 000 000 001 e y = -192 000 000 000 000 ...

E aí vai, uma disputa sem fim, havendo sempre uma "solução menor"...

Logo não podemos dar qualquer resposta para x e y reais e negativos. pois o problema se torna não determinado ( ou indeterminado ).

Se considerássemos o domínio como os Inteiros ℤ, teríamos a resposta do nobre e honorável Grão-Grão-Mestre Ivomilton para os positivos 12 e 16 e, obviamente, os limites inteiros de x e y negativos, isto é, -192 e -1, o que daria uma diferença mínima de -191.

E vamos lá !

Saudações.

rihan
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