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(ITA-93) Polinômios

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Mensagem por enricov Qua 19 Jul 2017, 17:38

Considere a equação de coeficiente reais x^5 + mx^4 + 2p/mx^3 - 316x^2 +688x + p = 0, m diferente de 0, para a qual 1 + 3i é raiz. Sabendo-se que a equação admite mais de uma raiz real e que suas raízes reais formam uma progressão geométrica de razão inteira cujo produto é igual a 64, podemos afirmar que p/m é igual a:


a) 20
b) 30
c) 40
d) 120
e) 160

enricov
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(ITA-93) Polinômios Empty Re: (ITA-93) Polinômios

Mensagem por Elcioschin Qua 19 Jul 2017, 18:52

Começando:

x1 = 1 + 3.i ---> x2 = 1 - 3.i (raiz conjugada)

[x - (1 + 3.i)].[(x - (1 - 3.i)] = [(x - 1) - 3.i].[(x - 1) + 3.i] = (x - 1)² - (3.i)² = 

x² - 2.x + 10

Se existe mais de uma raiz real são 3 raízes reais (as complexas vem em pares).
Sejam r, s, t estas outras raízes. Aplicando Girard:

Raízes em PG --> s² = r.t --> r.t.s = 64 ---> s².s = 64 ---> s = 4 ---> 1, 4, 16

r + s + t + (1 + 3.i) + 1 - 3.i) = - m --> r + s + t = m - 2 ---> I

r.s + r.t + s.t + r.(1 + 3.i) + s.(1 + 3.i) + t.(1 + 3.i) + r.(1 - 3.i) + s.(1 - 3.i) + t.(1 - 3.i) + (1 + 3.i).(1 - 3.i) = 2.p/m

r.s.t + r.s.(1 + 3.i) + r.s.(1 - 3.i) + r.t.(1 + 3.i) + r.t(1 - 3.i) + s.t.(1 + 3.i) + r.t(1 - 3.i) + r.(1 + 3.i).(1 - 3.i) + s.(1 + 3.i).(1 - 3.i) + t.(1 + 3.i).(1 - 3.i) = 316

r.s.t.(1 + 3.i) + r.s.t(1 - 3.i) +  r.s.(1 + 3.i).(1 - 3.i) + r.t.(1 + 3.i).(1 - 3.i) + s.t.(1 + 3.i).(1 - 3.i) = 688

r.s.t.(1 + 3.i).(1 - 3.i) = - p

Agora é contigo


Última edição por Elcioschin em Sex 28 Ago 2020, 09:01, editado 1 vez(es)
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(ITA-93) Polinômios Empty Re: (ITA-93) Polinômios

Mensagem por IsmaelOliveira Sex 28 Ago 2020, 04:35

(ITA-93) Polinômios Tent10
r.s.t + r.s.(1 + 3.i) + r.s.(1 - 3.i) + r.t.(1 + 3.i) + r.t(1 - 3.i) + s.t.(1 +3.i) + r.t(1 - 3.i) + r.(1 + 3.i).(1 - 3.i) + s.(1 + 3.i).(1 - 3.i) + t.(1 + 3.i).(1 - 3.i) = 316 


Aplicando Girard seria algo próximo disso que tentei representar para outro polinômio?

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(ITA-93) Polinômios Empty Re: (ITA-93) Polinômios

Mensagem por Elcioschin Sex 28 Ago 2020, 09:29

É bem mais simples:

Fiz uma correção em vermelho na minha solução, referente aos valores de s, t

Na 1ª relação de Girard, basta substituir r = 1, s = 4, t = 16:

r + s + t + (1 + 3.i) + (1 - 3.i) = - m ---> 1 + 4 + 16 + 2 = - m ---> m = -23


Na 5ª relação de Girard: 

r.s.t.(1 + 3.i).(1 - 3.i) = - p ---> 1.4.16.[1² - (3.i)²] = - p ---> 64.10 = - p ---> 

p = -640

p/m = -640/-23 ---> p/m = 640/23 --> nenhuma alternativa atende

Uma outra possibilidade é que as raízes sejam -1, 4, -16 com razão q = - 4 mas nem assim vai dar certo

Nenhuma alternativa atende. Acredito que exista algum erro no enunciado.
Infelizmente não sabemos de onde foi copiada a questão nem qual é o gabarito.
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