Equação com Sec^2 e Cossec^2

por zDudaH Qua 19 Jul 2017, 16:56

Seja ƒ:(0,

)→ ℝ dada por

Se α ∈ (0,

) e

, então ƒ(α) é igual a

Gabarito [D]

Meu resultado foi esse:

por **Elcioschin** Qua 19 Jul 2017, 17:28

Vou usar θ no lugar de α para não confundir com a

tgθ = a/b ---> senθ/cosθ = a/b ---> sen²θ/cos²θ = a²/b² --->

sen²θ/(1 - sen²θ) = a²/b² ---> sen²θ = a²/(a² + b²) ---> cos²θ = b²/(a² + b²)

senθ = a/√(a² + b²) ---> cosθ = b/√(a² + b²)

sen(2.θ) = 2.senθ.cosθ ---> sen(2.θ) = 2.a.b/(a² + b²)

f(x) = √(sec²x + cossec²x) ---> f(x) = √(1/cos²x + 1/sen²x) -->

f(x) = √(1/sen²x.cos²x) ---> f(x) = 1/senx.cosx ---> f(x) = 2/2.senx.cosx --->

f(x) = 2/sen(2.x) ---> f(θ) = 2/2.sen(2.θ) ---> f(θ) = 2/[2.a.b/(a² + b²)] --->

f(θ) = (a² + b²)/a.b

por zDudaH Qui 20 Jul 2017, 09:41

Elcioschin escreveu:Vou usar θ no lugar de α para não confundir com a

tgθ = a/b ---> senθ/cosθ = a/b ---> sen²θ/cos²θ = a²/b² --->

sen²θ/(1 - sen²θ) = a²/b² ---> sen²θ = a²/(a² + b²) ---> cos²θ = b²/(a² + b²)

senθ = a/√(a² + b²) ---> cosθ = b/√(a² + b²)

sen(2.θ) = 2.senθ.cosθ ---> sen(2.θ) = 2.a.b/(a² + b²)

f(x) = √(sec²x + cossec²x) ---> f(x) = √(1/cos²x + 1/sen²x) -->

f(x) = √(1/sen²x.cos²x) ---> f(x) = 1/senx.cosx ---> f(x) = 2/2.senx.cosx --->

f(x) = 2/sen(2.x) ---> f(θ) = 2/2.sen(2.θ) ---> f(θ) = 2/[2.a.b/(a² + b²)] --->

f(θ) = (a² + b²)/a.b

Oi bom dia, eu não consegui compreender a parte:
sen²θ/(1 - sen²θ) = a²/b² ---> sen²θ = a²/(a² + b²) ---> cos²θ = b²/(a² + b²)
O que aconteceu com a parte (1-sen²θ) ? Poderia explicar detalhadamente? Não sou muito boa com Trigonometria

por EsdrasCFOPM Qui 20 Jul 2017, 11:37

Aplicação da relação fundamental sen²x+cos²x=1.

sen²x+cos²x=1 --> cos²x=1-sen²x

sen²x/(1-sen²x)=sen²x/cos²x=a²/b²

por zDudaH Qui 20 Jul 2017, 12:31

EsdrasCFOPM escreveu:Aplicação da relação fundamental sen²x+cos²x=1.

sen²x+cos²x=1 --> cos²x=1-sen²x

sen²x/(1-sen²x)=sen²x/cos²x=a²/b²

Opa EsdrasCFOPm, essa parte eu entendi, é a próxima parte, em que aparece um a^2 no denominador, somando com o b^2. Essa parte que eu não entendi.

por **fantecele** Qui 20 Jul 2017, 12:59

$\\\frac{sen^2(\theta)}{1-sen^2(\theta)}=\frac{a^2}{b^2}\\b^2.sen^2(\theta)=a^2.(1-sen^2(\theta))\\b^2.sen^2(\theta)=a^2-a^2.sen^2(\theta)\\b^2.sen^2(\theta)+a^2.sen^2(\theta)=a^2\\(a^2+b^2).sen^2(\theta)=a^2\\sen^2(\theta)=\frac{a^2}{a^2+b^2}$

Depois usa "sen²(θ) + cos²(θ) = 1" para encontrar cos²(θ).

por EsdrasCFOPM Qui 20 Jul 2017, 12:59

Continua usando a mesma relação fundamental. Só vou fazer com relação ao I e o II você segue o raciocínio.

I) cos²x=1-sen²x ; II) sen²x=1-cos²x ;

sen²x/cos²x=a²/b²--> sen²x=(a²cos²x)/b²e cos²x=(b²sen²x)/a²

I) cos²x=1-sen²x -->

cos²x=1-(a²cos²x)/b²-->cos²x=[b²-(a²cos²x)]/b²b²cos²x=b²-(a²cos²x) --> a²cos²x+b²cos²x=b²(a²+b²)cos²x=b²--> cos²x=b²/(a²+b²)

por zDudaH Sex 21 Jul 2017, 09:01

fantecele88 escreveu: $\\\frac{sen^2(\theta)}{1-sen^2(\theta)}=\frac{a^2}{b^2}\\b^2.sen^2(\theta)=a^2.(1-sen^2(\theta))\\b^2.sen^2(\theta)=a^2-a^2.sen^2(\theta)\\b^2.sen^2(\theta)+a^2.sen^2(\theta)=a^2\\(a^2+b^2).sen^2(\theta)=a^2\\sen^2(\theta)=\frac{a^2}{a^2+b^2}$

Depois usa "sen²(θ) + cos²(θ) = 1" para encontrar cos²(θ).

fantelece88, muito obrigada

por zDudaH Sex 21 Jul 2017, 09:02

EsdrasCFOPM escreveu:Continua usando a mesma relação fundamental. Só vou fazer com relação ao I e o II você segue o raciocínio.

I) cos²x=1-sen²x ; II) sen²x=1-cos²x ;

sen²x/cos²x=a²/b²--> sen²x=(a²cos²x)/b²e cos²x=(b²sen²x)/a²

I) cos²x=1-sen²x -->

cos²x=1-(a²cos²x)/b²-->cos²x=[b²-(a²cos²x)]/b²b²cos²x=b²-(a²cos²x) --> a²cos²x+b²cos²x=b²(a²+b²)cos²x=b²--> cos²x=b²/(a²+b²)

Entendi, muito obrigada