Desigualdade das médias (outra)

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Desigualdade das médias (outra)

Mensagem por gilberto97 em Dom Jul 16 2017, 11:59

Antes de qualquer coisa, gostaria de sugerir o post do amigo Ashitaka: https://pir2.forumeiros.com/t84779-a-desigualdade-das-medias

Compartilho com os amigos do fórum a seguinte imagem: 


Fonte: https://mathoverflow.net/questions/8846/proofs-without-words/24828#24828

Deixo também a explicação Wink 

Explicação:
Raio da circunferência maior: (x+y)/2 = AM (Média aritmética) 
A base do triângulo que envolve AM e QM (média quadrática) é igual a (x+y)/2 - y = (x-y)/2. Aplicando o teorema de Pitágoras: (x+y)²/4+(x-y)²/4=QM² --> QM = raiz[(x²+y²)/2]
GM é a altura de um triângulo inscritível na semicircunferência, portanto retângulo. Logo GM = raiz(xy) (média geométrica). 
Por último, HM é a altura do triângulo representado na figura, cuja área é xy. Assim, xy = HM.(x+y)/2 (base x altura /2).
HM = 2xy/(x+y) = 2/(1/x+1/y) (média Harmônica). 
A imagem explica a desigualdade (ou as desigualdades).

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Re: Desigualdade das médias (outra)

Mensagem por Medeiros em Dom Jul 16 2017, 15:29

Gosto muito da ideia de demonstrações visuais porém, como provar que a área daquele triângulo inscrito (o de altura HM) é x.y ?

Em outras palavras: de posse dos números reais "x" e "y" posso traçar o semicírculo mas onde, no seu diâmetro, devo levantar a perpendicular para obter a HM ?
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Re: Desigualdade das médias (outra)

Mensagem por gilberto97 em Ter Jul 18 2017, 10:33

Mestre, acredito que o responsável por essa imagem apenas escolheu o triângulo inscrito cuja área é xy. Mas é algo interessante para se pensar sobre.

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Re: Desigualdade das médias (outra)

Mensagem por RioBrancoabcRetorna em Sab Jul 22 2017, 15:14

Olá Medeiros! Há quanto tempo!
Antes das minhas curtas "férias"(nunca paro), eu tive que realizar um trabalho sobre os gregos e sua matemática. A minha visão em relação a tal disciplina mudou muito a partir disto,principalmente em relação à geometria que ouso dizer ser uma das mais belas áreas da matemática.
Inspirado por tal, aprofundei meus conhecimentos em geometria.
Chega de papo furado...

É fácil ver que esta circunferência inscrita no triângulo retângulo possui centro no ponto onde ocorre a concorrência de suas bissetrizes.  Há uma propriedade que permite calcular os segmentos delimitados por um dos vértices e a base do segmento perpendicular a uma lado que termina no centro(o raio). Na imagem representei apenas o H mas há outros 2 pontos:
Não consegui carregar a imagem. Depois coloco.

Tal propriedades diz que x será igual a (p-b). p é o semi perímetro.
Fazendo xy obtemos (p-a)(p-b).
Desenvolvendo chegamos em ab, que é a área falada.

Até!

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