TRIGONOMETRIA

DETERMINE O PERÍODO DA FUNÇÃO : 
F(x)= sen2x. Cosx + senx. Cosx, para todo xER,

Resposta : 2pi/3

Definição:
Para funções do tipo sen(ax+b) e cos(ax+b), o período será T=2π/|a|

Note que a função da questão pode ser escrita como:
f(x)=2senx.cosx.cosx+senx.cosx
Como todos os senos e cossenos estão escrito com "a"=1 e "b"=0, o período será: T=2π, o que é fácil de ver, pois senx=sen(x+2π) e cosx=cos(x+2π), ou seja, se somarmos 2π a x, f(x) é a mesma.

OBS: Essa definição resolve a maioria das questões que envolvem período. Outra forma de fazer seria analisar o comportamento da função, tentando esboçar o gráfico ou determinando as raízes da função, para enxergar o padrão de repetição (o que caracteriza o período). Veja a função da questão:


As raízes da equação são:

\{...,0,\frac{\pi}{2},\frac{2\pi}{3},\pi,\frac{4\pi}{3},\frac{3\pi}{2},2\pi,...\}

Note que as raízes não possuem nenhum padrão de repetição no intervalo de [0,2π]. Elas passam a se repetir de 2π em 2π, como visto no gráfico acima.