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Olimpiada Canadense Modificada

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Mensagem por fernandobvm Sáb 24 Jun 2017, 19:16

Sabendo que a equação  tem a e b como as únicas raízes. Então, o algarismo das unidades de  vale:

A) 1
B) 2
C) 4
D) 6
E) 8

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Mensagem por renan2014 Sáb 24 Jun 2017, 20:31



Chama  de w e  de z.

Daí, teremos que w - z = 1 e w³ - z³ = 4.

Usa (w-z)(w²+wz+z²)=4 e a resposta virá, um pouco de trabalho mas virá.
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Mensagem por superaks Dom 25 Jun 2017, 04:06

Renan, porque você concluiu que w³ - z³ = 4 ?
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Mensagem por renan2014 Dom 25 Jun 2017, 09:35

renan2014 escreveu:

Chama  de w e  de z.

Daí, teremos que w - z = 1 e w³ - z³ = 4.

Usa (w-z)(w²+wz+z²)=4 e a resposta virá, um pouco de trabalho mas virá.

Partindo daqui, substitutindo w-z nessa equação teremos que:



Com w-z=1 teremos que .

De (i) e (ii), teremos que wz=1.

De (i), teremos que .

Entao 

Agora a estratégia é descobrir a soma e produto das possíveis raízes de x e usar polinômios simétricos para perceber uma sequência nos algarismos da unidade em .

Como , entao .



Logo, . Agora usaremos polinômios simétricos:




 .
  

Continuando isso tu vai ver que uma sequência no algarismo das unidades irá parecer, 4 8 6 2 ( usando S1 como referência).

Sabendo que , 2016 é divisível por 4 então o ultimo dígito é 2. Tomara que esteja certo.
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