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Rolamento

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Mensagem por carolzinhag3 Qua 21 Jun 2017, 16:39

Na figura abaixo temos uma bola pequena, maciça e uniforme com massa m, raio R e momento de inércia (2/5)mR² . 
Esta bola é lançada do ponto P, rola suavemente em uma superfície horizontal, sobe uma rampa e chega a um platô. Em seguida, deixa o platô horizontalmente para pousar em outra superfície mais abaixo, a uma distância horizontal d da extremidade do platô. As alturas verticais são h1=5 cm e h2= 1,6 cm. Com que velocidade a bola deve ser lançada do ponto P para pousar a uma distância d= 6,00 cm?

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Mensagem por diogompaiva Qua 14 Nov 2018, 15:05

No lançamento horizontal, vamos considerar a Vcm da bola.

movimento\,\,horizontal\,\,\rightarrow x=v_{cm}t\,\,\rightarrow \,\,t=\frac{x}{v_{cm}}\\\\movimento\,vertical\,\rightarrow y=\frac{at^2}{2}=5t^2=5\frac{x^2}{v_{cm}^{2}}\rightarrow v_{cm}=\sqrt{\frac{5x^2}{y}}=\sqrt{\frac{5d^2}{h_{2}}}\rightarrow v_{cm}=1,06\,m/s

Vamos usar conservação da energia no ponto P e em h1. Em P temos energia de rolamento, e em h1 rolamento e potencial gravitacional.

E_{p}=E_{h1}\,\rightarrow \,\frac{mv_{cm(p)}^{2}}{2}+\frac{I_{cm}w_{p}^{2}}{2}=\frac{mv_{cm(h1)}^{2}}{2}+\frac{I_{cm}w_{h1}^{2}}{2}+mgh_{1}\\\\Usando\,\,Vcm=wR,\,obtemos\\\\\frac{mv_{cm(p)}^{2}}{2}+\frac{I_{cm}v_{cm(p)}^{2}}{2R^2}=\frac{mv_{cm(h1)}^{2}}{2}+\frac{I_{cm}v_{cm(h1)}^{2}}{2R^2}+mgh_{1}

Substituindo o momento de inércia por (2/5)mR², ficamos com:

\frac{mv_{cm(p)}^{2}}{2}+\frac{mv_{cm(p)}^{2}}{5}=\frac{mv_{cm(h1)}^{2}}{2}+\frac{mv_{cm(h1)}^{2}}{5}+mgh_{1}\\\\\frac{7mv_{cm(p)}^{2}}{10}=\frac{7mv_{cm(h1)}^{2}}{10}+mgh_{1}\,\rightarrow\,v_{cm(p)}^{2}= v_{cm(h1)}^{2}+\frac{10gh_{1}}{7}\\\\v_{cm(p)}^{2}= (1,06)^{2}+\frac{10.10.5.10^{-2}}{7}\,\rightarrow \,v_{cm(p)}=\sqrt{1,84}\,\rightarrow \,\boxed{v_{cm(p)}=1,35\,m/s}




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