Polinômio de Leibniz
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Polinômio de Leibniz
Provarei a validade da expansão multinomial utilizando o Princípio da Indução Finita. O Binômio de Newton é generalizado pelo Polinômio de Leibniz, que é:
^{n}=\sum&space;\frac{n!}{\alpha&space;_{1}!\alpha&space;_{2}!\cdot&space;...\cdot&space;\alpha&space;_{p}!}.x_{1}^{\alpha&space;_{1}}.x_{2}^{\alpha&space;_{2}}\cdot&space;...\cdot&space;.x_{p}^{\alpha&space;_{p}}\\\\\alpha&space;_{1}+\alpha&space;_{2}+...+\alpha&space;_{p}=n)
Onde o número de soluções inteiras e não negativas da equação acima é dada pela combinação completa:
!}{(p-1)!n!})
Para p=1 a identidade é válida:

Supondo ser válido para p, devemos provar que será válido para p+1:
![(x_{1}+...+x_{p-1}+[x_{p}+x_{p+1}])^{n}=\sum \frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot\alpha_{p-1}!\alpha !}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot (x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }=\\\\\sum_{\alpha _{1}+...+\alpha _{p-1}+\alpha =n}^{\,}\frac{n!}{\alpha _{1}!\cdot ...\cdot\alpha_{p-1}!\alpha !}.x_{1}^{\alpha _{1}}\cdot ...\cdot (x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }\\\\\\(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }=\sum_{k=0}^{\alpha }\binom{\alpha }{k}x_{p}^{\alpha -k}.x_{p+1}^{k}\\\\\text{Fazendo}\,\,\alpha -k\,\,e\,k\,\mathrm{pot\hat{e}ncias\,com\,mesmo\,\acute{i}ndice\,de\,x,\,poderemos\,escrever}\\\mathrm{o\,Bin\hat{o}mio\,de\,Newton\,como\,outro\,Polin\hat{o}mio\,de\,Leibniz:}\\\\(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha }=\sum \binom{\alpha }{\alpha _{p+1}}.x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}}=\sum_{\alpha +\alpha _{p+1}=\alpha }^{\,}\frac{\alpha !}{\alpha_{p}!\alpha _{p+1}!}.x_{p}^{\alpha _{p}}.x_{p+1}^{\alpha _{p+1}}](https://latex.codecogs.com/gif.latex?(x_{1}+...+x_{p-1}+[x_{p}+x_{p+1}])^{n}=\sum&space;\frac{n!}{\alpha&space;_{1}!\cdot&space;...\cdot\alpha_{p-1}!\alpha&space;!}.x_{1}^{\alpha&space;_{1}}\cdot&space;...\cdot&space;(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha&space;}=\\\\\sum_{\alpha&space;_{1}+...+\alpha&space;_{p-1}+\alpha&space;=n}^{\,}\frac{n!}{\alpha&space;_{1}!\cdot&space;...\cdot\alpha_{p-1}!\alpha&space;!}.x_{1}^{\alpha&space;_{1}}\cdot&space;...\cdot&space;(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha&space;}\\\\\\(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha&space;}=\sum_{k=0}^{\alpha&space;}\binom{\alpha&space;}{k}x_{p}^{\alpha&space;-k}.x_{p+1}^{k}\\\\\text{Fazendo}\,\,\alpha&space;-k\,\,e\,k\,\mathrm{pot\hat{e}ncias\,com\,mesmo\,\acute{i}ndice\,de\,x,\,poderemos\,escrever}\\\mathrm{o\,Bin\hat{o}mio\,de\,Newton\,como\,outro\,Polin\hat{o}mio\,de\,Leibniz:}\\\\(x_{p}+x_{p+1})^{\alpha&space;}=\sum&space;\binom{\alpha&space;}{\alpha&space;_{p+1}}.x_{p}^{\alpha&space;_{p}}.x_{p+1}^{\alpha&space;_{p+1}}=\sum_{\alpha&space;+\alpha&space;_{p+1}=\alpha&space;}^{\,}\frac{\alpha&space;!}{\alpha_{p}!\alpha&space;_{p+1}!}.x_{p}^{\alpha&space;_{p}}.x_{p+1}^{\alpha&space;_{p+1}})
Na ante-penúltima expansão:
^{n}=\sum_{\alpha&space;_{1}+...+\alpha&space;_{p-1}+\alpha&space;=n}^{\,}\frac{n!}{\alpha&space;_{1}!\cdot&space;...\cdot!\alpha!}.x_{1}^{\alpha&space;_{1}}\cdot&space;...\cdot\,x_{p-1}^{\alpha&space;_{p-1}}.\sum_{\alpha&space;_{p}+\alpha&space;_{p+1}=\alpha&space;}^{\,}\frac{\alpha&space;!}{\alpha&space;_{p}!\alpha&space;_{p+1}!}.x_{p}^{\alpha&space;_{p}}.x_{p+1}^{\alpha&space;_{p+1}})
\\\\\sum_{\alpha&space;_{1}+...+\alpha&space;_{p-1}+\alpha&space;=n}^{\,}\sum_{\alpha&space;_{p}+\alpha&space;_{p+1}=\alpha&space;}^{\,}=\sum_{\alpha&space;_{1}+...+\alpha&space;_{p-1}+\alpha&space;_{p}+\alpha&space;_{p+1}=n&space;}^{\,}\\\\\therefore&space;\\(x_{1}+...+x_{p}+x_{p+1})^{n}=\sum&space;\frac{n!}{\alpha&space;_{1}!\cdot&space;...\cdot&space;\alpha&space;_{p}!\alpha&space;_{p+1}!}.x_{1}^{\alpha&space;_{1}}\cdot&space;...\cdot&space;x_{p}^{\alpha&space;_{p}}.x_{p+1}^{\alpha&space;_{p+1}})
Provando portanto que é válido para todo p.
CqD
Onde o número de soluções inteiras e não negativas da equação acima é dada pela combinação completa:
Para p=1 a identidade é válida:
Supondo ser válido para p, devemos provar que será válido para p+1:
Na ante-penúltima expansão:
Provando portanto que é válido para todo p.
CqD
Willian Honorio- Matador
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