Qual o desconto? (1)

Luiz 2017 escreveu:


jota-r:

Na primeira parte, sua solução numérica está impecável e o resultado correto. Na segunda parte, na solução literal, sua solução foi até além do esperado, embora, digamos assim, por uma maneira "manual", que percorre toda a série, capitalização por capitalização, mês a mês. Penso que desta forma se, por exemplo, n=360, teria algum trabalho para o cálculo de PV'. Imaginei que uma equação seria suficiente.

De qualquer forma, corroborando sua excelente solução em outra página, apresento a minha, aqui utilizando os recursos do Latex, que possibilitam uma melhor visualização da solução:



1º) Solução numérica:

n = 5 meses
i = 4,42% = 0,0442 am.
PMT = $ 250,00
Desconto = d = ?
Obs: p/ex. se d = 0,18 então d = 18/100 = 18% e assim sucessivamente.

Se haverá desconto, então o valor efetivamente financiável, o PV, será o resultado do número de prestações multiplicado pelo valor da prestação, e desse resultado subtraído desconto. Em outras palavras:

PV = (1-d) \cdot n \cdot PMT

Da equação geral do valor presente, postecipado temos:

PV=PMT\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

Substituindo valores:

(1-d) \cdot n \cdot PMT = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}} {i}

(1-d) \times 5 = \frac{1-(1+0,0442)^{-5}}{0,0442}

(1-d) = \frac{1-(1,0442)^{-5}}{0,0442 \times 5}

(1-d) = \frac{1-0,80552969}{0,221}

d = 1 - \frac{0,1944703}{0,221}

d = 1 - 0,87995612

d = 0,12004

Portanto, o desconto será:

\boxed{ d = 12 \% }



2º) Solução literal:

Em raciocínio análogo, se há desconto, então o valor efetivamente financiável, o PV, será o resultado do número de prestações multiplicado pelo valor da prestação, e desse resultado subtraído desconto, ou seja:

PV = (1-d) \cdot n \cdot PMT

Da equação geral do valor presente, postecipado tem-se:

PV=PMT\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}

Substituindo o valor de PV:

(1-d) \cdot n \cdot PMT = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

(1-d) = \frac {1-(1+i)^{-n}} {n \cdot i}

Portanto, a equação geral para o desconto, com pagamento postecipado será:

  \boxed{ d = 1 - \frac {1-(1+i)^{-n}} {n \cdot i} }



Conclusões:

1- Como se vê, esta expressão determina o desconto mínimo (d) a ser concedido, independente do valor do produto (PV) ou da prestação (PMT), sendo função apenas da taxa (i) e do tempo (n), para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.

2- Pode também informar a taxa máxima a ser cobrada, ou o prazo mínimo a ser concedido, para que o pagamento à vista seja mais vantajoso que o parcelamento.

Olá, Luiz.


As expressões entre os parênteses são termos de uma PG, em que:

a1 = 1/1,0442^1 = 0,957671
Q = (1/1,0442^2)/((1/1,0442^1) = 0,957671
n = 5

E, como Spg = [a1*q^n - a1)/(q-1), tem-se:

PV' = PMT*[a1*q^n - a1)/(q-1)
---->
PV' = 250*[(0,957671*0,957671^5 - 0,957671)]/(0,957671-1)
---->
PV' = 250*(-0,186238)/(-0,042329)
---->
pv' = 1099,94

Como este método é valido até para n tendendo a + infinito, seu "tamanho" não invalida minha generalização.

Além do mais, se aplicarmos a teoria das somatórias no excel, o resultado é obtido facilmente.

Conclusão: sua resolução é muito boa, mas a minha também tem seus méritos.


Um abraço.