Efeito Doppler Relativístico
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Efeito Doppler Relativístico
por Willian Honorio Sab 03 Jun 2017, 20:06
Olá, hoje demonstrarei aqui a equação do Efeito Doppler para a luz. Diferentemente de uma onda sonora na qual estamos acostumados a trabalhar, para velocidades muito altas como a da luz, os efeitos relativísticos não podem ser desprezados.
Adotando um sistema cartesiano XYZ para um observador num referencial inercial em repouso e um sistema cartesiano X'Y'Z' para um observador num referencial inercial em movimento:
:}\\\lambda&space;=(c-v).\Delta&space;t "\text{Para a luz em X'Y'Z':}\\\\f=\frac{1}{\Delta t'}\\\\\text{Para XYZ:}\\\\c=\lambda .f_{d}\\\text{Onde fd e a frequencia Doppler do movimento.}\\\\\text{Distancia percorrida por uma crista num intervalo de tempo:}\\d=c.\Delta t\\\text{Distancia percorrida por X'Y'Z', no mesmo intervalo de tempo:}\\D=v.\Delta t\\\text{Comprimento de onda observado por XYZ (movimento relativo entre pulso e fonte):}\\\lambda =(c-v).\Delta t")
.\Delta&space;t}\\\\\Delta&space;t=\frac{\Delta&space;t'}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\\\\Delta&space;t=\frac{c.\Delta&space;t'}{c.\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Rightarrow&space;\Delta&space;t=\frac{c.\Delta&space;t'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\\\therefore&space;\\f_{d}=\frac{\not{c}}{(c-v).\frac{\not{c}.\Delta&space;t'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}}\\f_{d}=\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{(c-v).\frac{1}{f}}\rightarrow&space;f_{d}=f.\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{(c-v)}\\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c^{2}-v^{2}}{(c-v)^{2}}}=f.\sqrt{\frac{(c+v)(c-v)}{(c-v)(c-v)}}\\\therefore&space;\\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c+v}{c-v}} "f_{d}=\frac{c}{(c-v).\Delta t}\\\\\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\\\\Delta t=\frac{c.\Delta t'}{c.\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Rightarrow \Delta t=\frac{c.\Delta t'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\\\therefore \\f_{d}=\frac{\not{c}}{(c-v).\frac{\not{c}.\Delta t'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}}\\f_{d}=\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{(c-v).\frac{1}{f}}\rightarrow f_{d}=f.\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{(c-v)}\\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c^{2}-v^{2}}{(c-v)^{2}}}=f.\sqrt{\frac{(c+v)(c-v)}{(c-v)(c-v)}}\\\therefore \\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}")
:bball:
Adotando um sistema cartesiano XYZ para um observador num referencial inercial em repouso e um sistema cartesiano X'Y'Z' para um observador num referencial inercial em movimento:
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Willian Honorio- Matador
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