Efeito Doppler Relativístico

por **Willian Honorio** Sab 03 Jun 2017, 19:06

Olá, hoje demonstrarei aqui a equação do Efeito Doppler para a luz. Diferentemente de uma onda sonora na qual estamos acostumados a trabalhar, para velocidades muito altas como a da luz, os efeitos relativísticos não podem ser desprezados.

Adotando um sistema cartesiano XYZ para um observador num referencial inercial em repouso e um sistema cartesiano X'Y'Z' para um observador num referencial inercial em movimento:

Efeito Doppler Relativístico Efeito11

$\text{Para a luz em X'Y'Z':}\\\\f=\frac{1}{\Delta t'}\\\\\text{Para XYZ:}\\\\c=\lambda .f_{d}\\\text{Onde fd e a frequencia Doppler do movimento.}\\\\\text{Distancia percorrida por uma crista num intervalo de tempo:}\\d=c.\Delta t\\\text{Distancia percorrida por X'Y'Z', no mesmo intervalo de tempo:}\\D=v.\Delta t\\\text{Comprimento de onda observado por XYZ (movimento relativo entre pulso e fonte):}\\\lambda =(c-v).\Delta t$

$f_{d}=\frac{c}{(c-v).\Delta t}\\\\\Delta t=\frac{\Delta t'}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\\\\\Delta t=\frac{c.\Delta t'}{c.\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\Rightarrow \Delta t=\frac{c.\Delta t'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}\\\therefore \\f_{d}=\frac{\not{c}}{(c-v).\frac{\not{c}.\Delta t'}{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}}\\f_{d}=\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{(c-v).\frac{1}{f}}\rightarrow f_{d}=f.\frac{\sqrt{c^{2}-v^{2}}}{(c-v)}\\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c^{2}-v^{2}}{(c-v)^{2}}}=f.\sqrt{\frac{(c+v)(c-v)}{(c-v)(c-v)}}\\\therefore \\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}$

$\text{Essa equacao para a aproximacao, logo, para o afastamento:}\\f_{d}=f.\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}\\\\\text{Generalizando as duas equa\c{c}oes e adotando o sinal + no sentido do observador para a fonte:}\\\\\boxed{f_{d}=f.\sqrt{\frac{c\mp v}{c\pm v}}}\\\\\\\\C.Q.D$

:bball:

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