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OLIMPÍADA DE MAIO?

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OLIMPÍADA DE MAIO? Empty OLIMPÍADA DE MAIO?

Mensagem por playstadion Qua 27 Abr 2011, 06:34

Encontre todos os números naturais de 90 dígitos que são múltiplos de 13 e têm os primeiros 43 dígitos iguais entre si e distintos de zero, os últimos 43 dígitos iguais entre si, e os 4 dígitos do meio são 2, 0, 1, 0, nessa ordem.
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OLIMPÍADA DE MAIO? Empty Re: OLIMPÍADA DE MAIO?

Mensagem por ivomilton Seg 09 maio 2011, 18:19

playstadion escreveu:Encontre todos os números naturais de 90 dígitos que são múltiplos de 13 e têm os primeiros 43 dígitos iguais entre si e distintos de zero, os últimos 43 dígitos iguais entre si, e os 4 dígitos do meio são 2, 0, 1, 0, nessa ordem.

Boa noite, playstadion.

Primeiramente procurei um número que tenha certa quantidade de algarismos iguais e que seja múltiplo de 13.
Para isso, dividi por 13 cada casa decimal, a partir da direita, portanto da casa das unidades; dividindo por 13 e anotando o resto encontrado na divisão de cada casa:

1/13 = quociente 0, resto 1
10/13 = quociente 0, resto 10
100/13 = quociente 7, resto 9
1000/13 = quociente 76, resto 12
10000/13 = quociente 769, resto 3
100000/13 = quociente 7692, resto 4

Observando bem, nota-se que temos aí restos complementares: 1 e 12; 10 e 13; 9 e 4. Isso significa que somando-se esses restos iremos obter um número divisível por 13 (1+10+9+12+3+4 = 39; 39/13 = quociente 3, resto 0) e que, por consequência, 1+10+100+1000+10000+100000 = 111111 é um número divisível por 13, ou seja, múltiplo de 13.

Como são 43 algarismos iguais de cada lado da parte central do número, e 43 = 6*7 + 1, as série compostas por 42 algarismos, tanto antes quanto após a parte central, formam números multiplos de 13.

Assim, o último algarismo sobrante, ao final da primeira série de 42, à esquerda, e o primeiro algarismo sobrante, no início da segunda série de 42, à direita, irão se reunir ao grupo central (2010), formando um número neste formato: X2010Y.

Calculando X e Y:

Para calcular X, fui variando seu valor (de 1 a 9) e, para calcular o valor de Y, fiz:
X=1 → 12010/13 = quociente 923, resto 11 → 11Y deve ser múltiplo de 13, o que nos leva ao múltiplo 117, cujo final nos informa: Y=7.
X=2 → 22010/13 = quociente 1693, resto 1 → 1Y iniciando com 2, teremos à esquerda do centro, 44 algarismos "2" no início(inadequado!)
X=3 → 32010/13 = quociente 2462, resto 4 → 4Y deve ser múltiplo de 13, mas não existe dezena múltipla de 13, iniciada por 4 (vazio!).
X=4 → 42010/13 = quociente 3231, resto 7 → 7Y deve ser múltiplo de 13, o que nos leva ao múltiplo 78, cujo final nos informa: Y=8.
X=5 → 52010/13 = quociente 4000, resto 10 → 10Y deve ser múltiplo de 13, o que nos leva ao múltiplo 104, cujo final nos informa: Y=4.
X=6 → 62010/13 = quociente 4770, resto 0 → 0Y isto nos levaria ao múltiplo 0, contudo haveria 44 algarimos "0" no final (inadequado!)
X=7 → 72010/13 = quociente 5539, resto 3 → 3Y deve ser múltiplo de 13, o que nos leva ao múltiplo 39, cujo final nos informa: Y=9.
x=8 → 82010/13 = quociente 6308, resto 6 → 6Y deve ser múltiplo de 13, o que nos leva ao múltiplo 65, cujo final nos informa: Y=5.
x=9 → 92010/13 = quociente 7077, resto 9 → 9Y deve ser múltiplo de 13, o que nos leva ao múltiplo 91, cujo final nos informa: Y=1.

Conclusão: Os números naturais solicitados são em número de 6 (=9-3), a saber:

...11111201077777...
...44444201088888...
...55555201044444...
...77777201099999...
...88888201055555...
...99999201011111...

Espero que esta solução esteja correta...





Um abraço.
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