(Fuvest-SP) Números Complexos

Olá a todos !

Gostaria muito da ajuda de vocês para entender como encontro as soluções da equação da questão que vou deixar abaixo.


(Fuvest-SP)

a)  Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação w = iz², em que i é a unidade imaginária, isto é, i² = -1 e w é o conjugado de z.



 Eu encontrei os valores de a e b do número complexo z = a + bi, mas não sei como prossigo para a solução.

Como comecei a resolução:

     w = iz²
a - bi = i(a + bi)²

...desenvolvendo a equação acima, encontrei a(1 + 2b) = 0, então a = 0 ou b = - 1/2.

Gabarito: z = 0, z = i, z = √3/2 - i/2 ou z = -√3/2 - i/2.


Obrigado a todos que responderem.

Você não desenvolveu completo:

a - bi = i.(a + b.i)²

a - b.i = i.(a² - b² + 2.a.b.i)

a - b.i = - 2.a.b + (a² - b²).i

(a + 2.a.b) - (a² - b² + b).i = 0

a.(1 + 2.b) - (a² - b² + b).i = 0

I) a = 0 ou b = -1/2

II) ---> a² - b² + b = 0

II.1) Para a = 0 ---> 0² - b² + b = 0 ---> b.(b - 1) = 0 ---> b = 0 ou b = 1

II.2) Para b = -1/2 ---> a² - (1/2)² - 1/2 = 0 ---> a² = 3/4 ---> a = ± √3/2

Entendi bem a resolução ! Muito obrigado, Grande Mestre Elcioschin !

Élcio. Você pode me tirar uma dúvida?
Procedi da seguinte maneira:
Multipliquei ambos os lados por -i:
a - ib = i(a+ib)²
-ia - b = (a² - b² + i2ab)
-a = 2ab
-1 = 2b
b = -1/2;

a² - b² = -b
a² = b² - b = 1/4 + 1/2
a² = 3/4
a = ± √3/2
Ou seja:
z = ± √3/2 - i/2
O que eu fiz de errado que meu resultado diverge do gabarito?
Obrigado.

Fazendo z = a + b.i --> w = a - b.i

w = i.z²

a - bi = i.(a + b.i)² ---> Multiplicando por -i

-i.(a - bi) = -i².(a² - b² + 2.a.bi)

b - a.i = (a² - b² + 2.a.bi) --->

O seu erro foi: sinal de b é + pois -b.i² = - b.(-1) = + b

Elcio, acho que você se enganou ali. Pois (-i)*(-bi) = i*bi = -b e não +b.
Mas fiquei matutando a respeito, e olhando mais atentamente encontrei meu erro.
Ao fazer -a = 2ab, eu considerei direto a # 0, e dividi os dois lado por a, mas tem o caso em que a = 0   Ai se fizer a igual à 0, a minha resolução bate com o gabarito... Vacilo meu.
Mas mesmo assim obrigado.

Você está certo meu caro Mbssilva. Baita distração minha! Acho que foi o vinho do almoço.