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A parábola de segurança e sua equação

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A parábola de segurança e sua equação Empty A parábola de segurança e sua equação

Mensagem por richardkloster Qui 04 Maio 2017, 04:22

A parábola de segurança é muito útil para resolver problemas envolvendo máximos e mínimos de lançamento de projéteis.


Consideramos um projétil com velocidade Vo fixa e seu ângulo de lançamento variando entre 0º>α>180º.

A equação da trajetória de um lançamento oblíquo qualquer em função de Vo e α é dada por:



Na imagem a seguir, vemos a parábola de segurança em amarelo e inúmeras quantidades de parábolas possíveis para cada diferencial de α. Apenas desenhei algumas.

A parábola de segurança e sua equação Paryyb10
Dado o valor fixo de Vo, para cada α a parábola atinge uma altura máxima em um certo ponto e a união de todos esses pontos nos dá uma outra parábola, a chamada parábola de segurança. A região interna da P.S. é conhecida como área de perigo, pois qualquer objeto nessa área pode ser atingido pelo projétil para dois valores específicos de α. Se o objeto está exatamente em algum ponto da P.S. ele também corre perigo de ser atingido, mas apenas para um específico valor de α . A região externa é área segura. Qualquer que seja a posição do objeto ele nunca será atingido pelo projétil para a dada Vo fixa, independente do seu ângulo de lançamento.

Encontrando a equação da parábola de segurança:

Considerando origem de cada projétil em (0;0) com Vo e ângulo α. Sendo P (xp,yp) um ponto que se deseja atingir.

Para isso, o ponto P (xp,yp) deve pertencer à trajetória:



Mas




Então





Temos uma equação de segundo grau na variável α.

Essa equação fornece ângulos quais a trajetória passa por (xp;yp). Porém, por ser uma equação de segundo grau, ela nos dará dois valores de α em que existe a parábola de segurança, o que está correto. Mas nós queremos apenas o valor de α para que a parábola de segurança tangencie todos os pontos máximos das trajetórias. Portanto, queremos um ∆=0, onde ∆=b²-4ac.

Como os coeficientes a,b,c dá nossa equação da parábola de segurança são:







Então










Essa é a equação da parábola de segurança. Fui apresentado a ela por um dos meus professores e queria repassar, pois é uma expressão bem poderosa e não muito conhecida e saber dela facilita em várias questões.
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A parábola de segurança e sua equação Empty Re: A parábola de segurança e sua equação

Mensagem por Claudir Qui 04 Maio 2017, 05:19

Aqui temos uma sessão só para demonstrações. Movi seu tópico pra lá. Wink

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A parábola de segurança e sua equação Empty Re: A parábola de segurança e sua equação

Mensagem por richardkloster Qui 04 Maio 2017, 05:28

Ah, obrigado. Smile Não conhecia essa sessão.
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