Medida do ângulo

O triângulo ABC é isósceles com CA=CB e ^C=20°. Sejam os pontos D sobre AC e E sobre BC de modo que A^BD=60° e BÂE=50°. Determine o valor de E^DB.

Trace a reta GD // AB (G ∈ BC).
A^EB = 50° → Medida de BE = AB (I)
B^DG = A^GD = 60° → D^FG = 60° e o triângulo DFG é equilátero.
A^FB = D^FG (OPV) = 60° → Triângulo FBA é equilátero (FB = AB) (II)
De (I) e (II) FB = BE, triângulo BFE é isósceles (20°, 80°, 80°).
No triângulo FGE podemos facilmente perceber que E^GF = E^FG = 180° - 80° - 60° = 40°. Com isso o triângulo FGE é isósceles (FE = EG).
Nos triângulos DFE e DGE temos que FE = EG, DE é comum aos dois triângulos e GD = DF (triângulo DFG é equilátero), com isso os triângulos DFE e DGE são iguais (LLL). Portanto F^DE = G^DE = x, 2x = 60° → x = 30°, x = E^DB.

Esse é o famoso "triângulo russo", existe várias maneiras de resolver ele, essa é apenas uma que eu aprendi. É só procurar no google que você facilmente encontra outras.

E o famoso triângulo russo. Salvo engano e memória deficiente, a solução trazida pelo Fantecele consta no Lidisk.

Aqui no fórum, já vi mais de uma vez o Raimundo resolvendo esse triângulo.

Há outras soluções. Vide:
https://pir2.forumeiros.com/t13964-triangulo-russo-i-original

Impressionante como um mesmo problema apresenta várias soluções.
Agora aumentei minha caixa de ferramentas.

Encontrei outra bem interessante:

Como o ∆ABC é isósceles então BÂc=A^BC=80°.
Assim, temos que: D^BE=20° e EÂD=30°.
Como AÊB=50° então ∆AEB é isósceles, ou seja, EB=AB.

Lei dos senos em ∆AEC: (CA/CE)=(sin(CÊA)/sin(CÂE))=sin(130)/sin(30) =>
(CA/CE)=sin(180-50)/(1/2)=>(CA/CE)=2sin(50)=2cos(40)

Lei dos senos em ∆ABD: (DB/AB)=sin(DÂB)/sin(A^DB)=sin(80)/sin(40)
Desde que (CA/CE)=(DB/EB) e D^BE=A^CB=20°, então ∆AEC∆DEB => E^DB=30°