Plano tangente

por carolzinhag3 Sex 14 Abr 2017, 23:00

Seja
$f(x,y) = x \cos\frac{x}{y}$

Mostre que os planos tangentes ao gráfico f contém a origem.

Resp:

$(\cos \tfrac{x'\ }{y'}-\frac{x'}{y'}sen\frac{x'}{y'})x +(\frac{x'^2}{y'^2}sen\frac{x'}{y'})y$

a equação satisfaz x,y,z = 0

Eu fiz e o resultado deu:

$z =-x'\cos \frac{x'}{y'}+ (\cos \tfrac{x'\ }{y'}-\frac{x'}{y'}sen\frac{x'}{y'})x +(\frac{x'^2}{y'^2}sen\frac{x'}{y'})y$

Só esse $-x'\cos \frac{x'}{y'}$ que tá diferente

Alguém pode tentar resolver, por favor!!!

por **Carlos Adir** Dom 27 Ago 2017, 23:52

Bem, creio que já conheça calculo diferencial e derivadas parciais, então utilizarei.
Temos nossa função dada por:
$f(x,y) = x \cdot \cos \dfrac{x}{y}$
Precisamos das derivadas parciais:
$\\ \dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y) = \cos \dfrac{x}{y} + x \cdot \left(-\sin \dfrac{x}{y} \right ) \cdot \dfrac{1}{y} \\ \dfrac{\partial}{\partial y}f(x, y) = x \left(-\sin \dfrac{x}{y} \right )\cdot \dfrac{-x}{y^2}$

Agora que sabemos as derivadas parciais, devemos descobrir o plano tangente. Contudo, devemos verificar realmente se a função é diferenciável em qualquer ponto que seja diferente da origem. Ao aplicar isso, vemos que o único problema é o eixo x(onde y é nulo) em que não está no domínio.
Assim, o plano é:
$\\ z(x, y) = f(a, b) + \dfrac{\partial f(a, b)}{\partial x}(x-a) + \dfrac{\partial f(a, b)}{\partial y}(y-b) \\ z(x, y) = a \cdot cos \dfrac{a}{b} + \left(\cos \dfrac{a}{b} - \dfrac{a}{b}\sin \dfrac{a}{b} \right )(x-a) +\dfrac{a^2}{b^2}\sin \dfrac{a}{b} \left(y-b \right )$
Para verificar se o plano que é tangente à função no ponto (a, b) passa pela origem, x, y e z devem ser simultaneamente zeros.
$\\ z(x, y) = a \cdot cos \dfrac{a}{b} + \left(\cos \dfrac{a}{b} - \dfrac{a}{b}\sin \dfrac{a}{b} \right )(x-a) +\dfrac{a^2}{b^2}\sin \dfrac{a}{b} \left(y-b \right ) \\ z(0, 0) = {\color{Red} a \cdot cos \dfrac{a}{b}} + \left({\color{Red} \cos \dfrac{a}{b}} - \dfrac{a}{b}\sin \dfrac{a}{b} \right )(-a) +\dfrac{a^2}{b^2}\sin \dfrac{a}{b} \left(-b \right ) \\ z(0, 0) = \dfrac{a^2}{b} \sin \dfrac{a}{b} - \dfrac{a^2}{b} \sin \dfrac{a}{b} = 0$

Ou seja, para qualquer ponto (a, b) no domínio, o plano tangente sempre passará pela origem.

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