Equações Irracionais

^{Resolva, em R, as equacoes:}
(x + 1)^1/3 - (x - 1)^1/3 = (x² - 1)^1/3


R: S = {5^1/2/2 e -5^1/2/2}

∛(x + 1)  - ∛(x - 1) = ∛(x² - 1)             (I)     Elevando a expressão ao cubo:
x + 1 -3(∛((x + 1)²)(x - 1)) + 3∛((x + 1)(x - 1)²) - (x - 1) = x^2 - 1
2 - 3(∛(x^2 - 1)(∛(x + 1) - ∛(x - 1)) = x^2 - 1       (II)

Substituindo (I) em (II) e fazendo x² - 1 = k
2 - 3∛(k²) = k
-27k² = k³ - 3.k².2 + 3.k.4 - 8
k³ + 21k² + 12k - 8 = 0
k = -1            (III)
k = 6√3 - 10  (IV)
k = -6√3 - 10 (V)

De (I) temos:
x + 1 > x - 1
∛(x + 1) > ∛(x - 1)
∛(x + 1) - ∛(x - 1) > 0

∛(x² - 1) > 0
x^2 - 1 > 0
x^2 > 1
x > 1 ou x < -1

Com isso percebemos que apenas os valos encontrados em (IV) satisfaz a equação, são eles x = √(6√3 - 9) ou x = -√(6√3 - 9).
O Wolfram diz que apenas a raiz positiva satisfaz a equação, porém se você jogar na calculadora você pode perceber que a raiz negativa também satisfaz.

Professor, só uma duvida, por que substituiu (∛(x^2 - 1)(∛(x + 1) - ∛(x - 1)) por ∛k²?

(∛(x² - 1)(∛(x + 1) - ∛(x - 1))  (II)
Do enunciado temos que:
∛(x + 1)  - ∛(x - 1) = ∛(x² - 1)  (I)
Substituindo (I) em (II)
∛(x² - 1).∛(x² - 1)
∛((x² - 1)²)
x² - 1 = k
∛((k)²)
∛(k²)

Ahh, entendi, obrigado!