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Análise combinatória

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Mensagem por Gbarros92 Dom 02 Abr 2017, 21:03

Aline possui três lápis cujas cores são vermelho, amarelo e lilás. Ela desenhou várias flores como a representada a seguir, de forma a pintar cada uma obedecendo às seguintes condições: 
 i) Cada flor deve estar colorida de forma distinta das demais; 
 ii) Cada pétala deve possuir uma cor distinta da cor de suas vizinhas.

Análise combinatória Flor_210



Satisfazendo às condições descritas anteriormente, quantas flores, no máximo, Aline conseguirá pintar? 
A) 3 · 2^11 
B) 2^13 
C) 3 · 2^12 
D) 2 · 3^12 
E) 3^13

O gabarito diz ser a Letra A. Minha dúvida com relação à questão é a seguinte: escolhe-se a primeira com 3 possibilidade, a segunda com 2 possibilidades e assim vai até a penúltima pétala, porém, ao chegar na última a ser pintada, temos um impasse. Caso a penúltima tenha a mesma cor da primeira, então a última terá 2 possibilidades e assim totalizaremos 3.2^11, mas, caso a penúltima tenha cor diferente da primeira teremos  1 possibilidade para a última, totalizando 3.2^11 novamente. Somando-se ambos os casos, obtemos a resposta de 3.2^12, resultado que consta nas alternativas, porém foi dado como errado. Poderiam me dizer se o gabarito A é o correto ou se meu raciocínio está correto? Obrigado.

Obs: A resolução da questão que tenho em mãos, simplesmente ignorou o impasse e contou 1 possibilidade para a última pétala, assim dando como resposta a letra A

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Mensagem por Diego A Dom 02 Abr 2017, 21:26

Faça a distribuição

1ª = 3
2ª = 2
...
12ª = 2
13ª = 1

3*2^11*1


Última edição por Diego Matheus em Dom 02 Abr 2017, 21:30, editado 2 vez(es)

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Mensagem por Gbarros92 Dom 02 Abr 2017, 21:28

Diego Matheus escreveu:Faça a distribuição

1ª = 3
2ª = 2
...
12ª = 2
13ª = 1

3*2^11*1
Sim eu entendo a distribuição, o problema é o impasse que aparece na ultima pétala, conforme expliquei na pergunta.

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Mensagem por Diego A Dom 02 Abr 2017, 21:29

Se
1ª =lilás
12ª = lilás
13ª = Amarelo ou Vermelho
Perceba que quando você fez isso, você trocou as 2 possibilidades que cabiam à 12ª para a 13ª. Manteve-se 2^11, você só trocou a posição

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Mensagem por Gbarros92 Dom 02 Abr 2017, 21:34

Diego Matheus escreveu:Se
1ª =lilás
12ª = lilás
13ª = Amarelo ou Vermelho
Perceba que quando você fez isso, você trocou as 2 possibilidades que cabiam à 12ª para a 13ª. Manteve-se 2^11, você só trocou a posição
Exatamente, você não fez uma distinção nesse último caso(1ª pétala igual à penúltima pétala)? Tendo que contabilizá-lo separadamente?

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Mensagem por Diego A Dom 02 Abr 2017, 22:01

Gbarros92, quando colocamos a 1ª e a penúltima da mesma cor, o que estamos fazendo é criando um cenário.

Então, 
1ª =lilás
12ª = lilás
13ª = Amarelo ou Vermelho

é igual a 1 dentre tantas possibilidades

Para sabermos o total de possibilidades, fazemos a distribuição
3.2.2 .... 1 em que não estaremos definindo cores, apenas as regras I e II
Dessa forma, estaremos encontrando todos os cenários e o cenário hipotético que criamos já está incluso no cálculo.

Compreenda que, quando você troca ^11 por ^12, não acrescenta somente 1 possibilidade, mas 6 144 delas
3.2^11 = 6 144
3.2^12 = 12 288

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Mensagem por Gbarros92 Dom 02 Abr 2017, 22:23

Diego Matheus escreveu:Gbarros92, quando colocamos a 1ª e a penúltima da mesma cor, o que estamos fazendo é criando um cenário.

Então, 
1ª =lilás
12ª = lilás
13ª = Amarelo ou Vermelho

é igual a 1 dentre tantas possibilidades

Para sabermos o total de possibilidades, fazemos a distribuição
3.2.2 .... 1 em que não estaremos definindo cores, apenas as regras I e II
Dessa forma, estaremos encontrando todos os cenários e o cenário hipotético que criamos já está incluso no cálculo.

Compreenda que, quando você troca ^11 por ^12, não acrescenta somente 1 possibilidade, mas 6 144 delas
3.2^11 = 6 144
3.2^12 = 12 288
Entendi, obrigado!

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Mensagem por Gemma Galgani Qua 20 Out 2021, 21:20

naoo tendii.. se a penultima petala for igual a primeira seria 3 2^ 12

mas se fosse diferente a penultima pra ultima ficaria seria  3 2^11

dai somando dá 3^2 . 2^11
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