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Fluidos - Equação de Bernoulli

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Mensagem por Gabrielaugust Seg Mar 27 2017, 17:32

Gostaria que alguém me desse uma "luz" para resolver a seguinte questão.

A figura mostra um diagrama muito simplificado do sistema de drenagem de água da chuva de uma casa. A chuva que cai no telhado inclinado escorre para as calhas da borda do telhado e desce por canos verticais (apenas um desses canos é mostrado na figura) para um cano principal M abaixo do porão, que leva a água para um cano ainda maior, situado no subsolo. na figura, um ralo no porão também está ligado ao cano M. Suponha que as seguintes condições são verdadeiras:

1- os canos verticais têm comprimento h1 = 11 m
2- o ralo do porão fica a uma altura h2 = 1,2 m em relação ao cano M
3- o cano M tem um raio de 3,0 cm
4- a casa tem L = 60 m de fachada e P = 30 m de profundidade
5- toda a água que cai no telhado passa pelo cano M
6- a velocidade inicial da água nos canos verticais é desprezível
7- a velocidade do vento é desprezível (a chuva cai verticalmente)

Para qual índice de precipitação, em centímetros por hora, a água do cano M chega à altura do ralo, ameaçando inundar o porão?
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Mensagem por Aranvandil Dom Jan 20 2019, 13:01

Bem, já se passou um bom tempo desde que esta questão foi posta aqui, mas não vejo porque não respondê-la, mesmo que atrasado hahah

Dado o que o exercício pede, é importante que façamos as seguintes percepções: 
O tubo todo deve ser considerado preenchido por água;
Logo antes de transbordar, a velocidade da água no ralo é 0;
A velocidade da água no ponto localizado no topo da calha também pode ser considerada 0;
A vazão do telhado deve ser igual à vazão do cano, ou seja, a velocidade com que a água cai no telhado multiplicada por sua área deve ser equivalente à velocidade com que a água passa pela tubulação M multiplicada pela área do tubo M;
O que estamos procurando é, portanto, a velocidade com que a água cai no telhado.
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A PARTIR DAQUI, INICIAREI A RESOLUÇÃO 

Existem, neste exercício, três pontos interessantes a serem considerados: o ponto no início da calha, lá em cima, que chamarei de ponto A; o ponto logo abaixo do ralo, que chamarei de ponto B; e o ponto no próprio ralo, que chamarei de ponto C.

Usarei a seguinte notação:
P: pressão
h: altura
v: velocidade
ρ: densidade (neste caso, da água)
I: vazão
A: área
r: raio do cano M
L: largura da casa
P: profundidade da casa
Ao lado de cada letra referente a um valor usarei uma letra maiúscula para indicar a qual ponto me refiro (por exemplo, h_{A} = altura no ponto A)

Perceba que, em B, possuímos a seguinte relação de pressão:

P_{B} = P_{C} + \rho gh_{C}

É interessante notar também que P_{C} = P_{A} = P_{atmosfera}. Isto implica que:

P_{B} - P_{C} = P_{B} - P_{A} \leftrightarrow P_{B} - P_{A} = \rho gh_{C}


Ou seja:  P_{B} - P_{A} = \rho gh_{2}  (pela figura, h_{C}=h_{2})

Vamos, agora, analisar os pontos A e B. É interessante estabelecer uma relação entre ambos através da equação de Bernoulli. Portanto:

P_{A} + \frac{1}{2}\rho v_{A}^{2} + \rho gh_{A} = P_{B} + \frac{1}{2}\rho v_{B}^{2} + \rho gh_{B}

v_{A} (a velocidade no topo da calha) pode ser considerada zero. Considerando como origem o ponto B, h_{B} também equivale a zero. Assim:

P_{B} - P_{A} = - \frac{1}{2}\rho v_{B}^{2} + \rho gh_{A}
\rho gh_{2} = - \frac{1}{2}\rho v_{B}^{2} + \rho gh_{1}

v_{B} = \sqrt{2g(h_{1}-h_{2})}

Com isso, podemos lembrar que a vazão dentro do cano deve ser igual à vazão sobre o telhado. Usarei a letra "T" para indicar o telhado.

I_{B}=I_{T}

A_{B}\cdot v_{B} = A_{T}\cdot v_{T}

\pi r^{2} \sqrt{2g(h_{1}-h_{2})} = L \cdot P \cdot v_{T}

Por fim:

v_{T} = \frac{\pi r^{2} \sqrt{2g(h_{1}-h_{2})}}{L \cdot P}

Esta velocidade equivale à velocidade de precipitação. Agora é apenas colocar os valores dados, e converter para a unidade pedida.

Aranvandil
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