(AFA 2003) Trigonometria

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(AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por oliveiragabriel97 em Seg Jan 23 2017, 22:42

[size=15]Considere a função real definida por  e as seguintes afirmações:

I) A função é decrescente em todo o seu domínio

II) O gráfico da função apresenta assíntotas nos arcos 

III) A função é negativa em 

IV) A função admite inversa em 

São verdadeiras somente as afirmativas contidas nos itens

a) I e II
b) II e III
c) III e IV
d) I e IV

Não sei o gabarito
[/size]
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Willian Honorio em Ter Jan 24 2017, 12:20

ACHO que não tem como resolver com os dados apresentados.
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Matemathiago em Ter Jan 24 2017, 12:47

Aplicando a regra do produto para derivadas: 

y = cos(2x)/(1+sin(2x) = cos(2x) . (1+sin(2x))^(-1)

y' = -2sen(2x)/(1 + sen(2x))  + cos (2x).(-1).[(1+sin(2x))^(-2)].(2cos(2x))= 0

Enfim, resolvendo a equação, a alternativa 1 fica fácil de ser respondida.

Na alternativa 2, as assíntotas ocorrem quando 1 + sen(2x) = 0
Ou seja: 
sen(2x) = -1
x = 3pi/4 + 2kpi

Além disso, como há imagem para x=pi/2 (y=-1), x=pi/2 + kpi não pode ser assíntota.

Na 3, como f(0) = 1, a alternativa  3 é falsa.

Segundo essa perspectiva, ao meu ver, a letra "d" é a correta.

O que acham?


Última edição por Matemathiago em Ter Jan 24 2017, 13:06, editado 1 vez(es)
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Willian Honorio em Ter Jan 24 2017, 12:57

Matemathiago, não entendi o que você fez na primeira linha, você derivou?
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Matemathiago em Ter Jan 24 2017, 12:59

Sim, acho que esse é o meio mais viável para saber se a função é crescente ou decrescente em determinado intervalo.

Se a derivada for positiva: função crescente
negativa: decrescente
nula: ponto crítico.

E por sinal, derivada de uma constante é 0, ou seja, cometi um pequeno equívoco, vou editar!
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Elcioschin em Ter Jan 24 2017, 13:11

Para que não conhece derivadas:

Pontos importantes da função

1) Ela não é definida quando o denominador é nulo: 

1 + sen2x = 0 --> sen(2x) = -1 ---> 2x = 3.pi/2 ---> x = 3.pi/4 (na  1ª volta)

Isto significa que, para x = 3.pi/4 a função é assintótica à reta x = 3.pi/4

2) Ele é nula quando o numerador é nulo: cos2x = 0 ---> x = pi/4 ou x = 3.pi/4 (não serve)

3) Dê valores para x: 0, pi/6, pi/3, pi/2, 2.pi/3, 5.pi/6, x = pi, etc e desenhe o gráfico
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Willian Honorio em Ter Jan 24 2017, 13:15

Conheço muito pouco, obrigado Elcioschin, tentarei fazer aqui.
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por Matemathiago em Ter Jan 24 2017, 13:19

Resolvendo a derivada fica:

-2/(sin(2x) + 1))

Que nunca é positiva, pois isso só aconteceria para sin(2x) <-1, o que é impossível.

Logo, a alternativa I é certamente verdadeira, e eu acho que a letra "d" é realmente a correta.
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

Mensagem por sophiegermain97 em Sab Abr 14 2018, 23:20

Como eu sei que a função admite inversa?
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Re: (AFA 2003) Trigonometria

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