Colisões,cinetica, sen e cos do arco duplo.

por leon pereira de oliviera em Seg 02 Jan 2017, 16:44

Uma esfera A,de massa muito menor que outra esfera B,encontra-se apoiada sobre B,sendo que a linha que une seus centros forma ângulo ∝ com a vertical.Ambas encontram-se inicialmente á uma altura h=2m em relação ao chão,em local de resistência do ar despresivel.Então elas são soltas,caem verticalmente,até que B colide com o chão e,imediatamente depois ,A colide com B e A é arremessada à distancia horizontal l,atingindo o chão,as colisoes são perfeitamente elásticas.E não há atrito e os raios das esferas são menores que l e h.Determine l em função de ∝.[/img]

por **gilberto97** em Seg 02 Jan 2017, 19:06

Olá Leon. Você tem o gabarito?

por leon pereira de oliviera em Seg 02 Jan 2017, 23:36

Sim tenho gilberto,eu já identifiquei como resolver o problema na partes dos

ângulos, porém acho que errei na parte da física.

Olha como fiz e se poder me dizer o que estou errando agradeço.

Na vertical Vy=v°*sen(Ø) ======= Na horizontal Vx=v°*cos(Ø)

Ø=(90°-∝)

Sen(Ø)=Sen(90°-∝)=Sen90°*Cos(∝)-Sen(∝)*Cos(90°)=Cos(∝)

Cos(Ø)=Cos(90°-∝)=Cos90°*Cos(∝)+Sen(90°)*Sen(∝)=Sen(∝)

Energia potencial gravitacional=Energia cinética

Como a colisões é perfeitamente elásticas a energia se conserva.

M*g*2+m*g*2=M*V²/2+m*v²/2 Em caso de queda livre os dois corpos

chegam ao chão ao mesmo tempo com a mesma velocidade.Logo V=v.

V²=4g V°=2√g

Vy=2√g*Cos(∝) --------Vx=2√g*Sen(∝)

Tempo para atingir maior altura----0=2√g*Cos(∝)-g*t ---t=2√g*Cos(∝)/g

Tempo para atingir o ponto mais alto é o mesmo para cair ---Tempo total=4√g*Cos(∝)/g

Então L=2√g*Sen(∝)*4√g*Cos(∝)/g

[L=4*Sen(2∝)] Porém no gabarito está errado. olhe!

[/img]

por **gilberto97** em Qua 04 Jan 2017, 00:03

Seu erro foi ter desconsiderado os desvios das trajetórias de A e de B imediatamente depois da colisão. O fato B ter massa bem maior que a de A garante apenas que a velocidade de B é praticamente igual antes e depois da colisão. Isso se deve ao fato da colisão ser elástica, havendo pois conservação da energia cinética. Essa é uma excelente questão, que exige muita atenção do estudante. Vejamos...

As duas esferas possuem raios muito menores que h e L, logo esses serão desconsiderados. Em primeiro lugar, temos a queda livre dos corpos. Por Torricelli:

$v^{2}=2gh=4g\Rightarrow v=2\sqrt g$

Essa velocidade é igual para A e B, pois a distância de A para o solo no momento da colisão é mediocremente pequena em relação a h ,segundo o enunciado. Então, B colide com o solo e como a colisão é elástica, sua velocidade é igual em módulo à velocidade anterior e orientada para cima. Temos a seguinte situação (desculpe o desenho, meu PC está um pouco bugado até pra fazer figuras em programas):

Imediatamente ANTES da colisão:

Imediatamente DEPOIS da colisão:

Conservação da energia cinética:

$\frac{m_{A}.4g}{2}+\frac{m_{B}.4g}{2}=\frac{m_{A}v'^{2}}{2}+\frac{m_{B}V'^{2}}{2}$

Note que

$E=2m_{A}g+2m_{B}g=2m_{B}g\left ( 1+\frac{m_{A}}{m_{B}} \right )$

$E\approx 2m_{B} g$ , pois $m_{A}<<m_{B}$ .

$2m_{B}g=\frac{m_{A}v'^{2}}{2}+\frac{m_{B}V'^{2}}{2}$

$m_{A}v'^{2}+m_{B}V'^{2}=4m_{B}g$

$\frac{m_{A}}{m_{B}}v'^{2}+V'^{2}=4g$

$V'^{2}\approx 4g \Rightarrow V'=2\sqrt{g}$

Concluímos que a velocidade de B pode ser considerada a mesma antes e depois da colisão, pois a massa de A é insignificante perto da massa de B. Para estudarmos o que ocorre nesta colisão, fazemos uso do coeficiente de restituição, que é definido como

$e=\frac{v_{afastamento}}{v_{aproximacao}}$ .

As velocidades a serem consideradas são as radias. Isso é lógico. Temos que a velocidade relativa de aproximação imediatamente antes da colisão é, pela FIGURA 1:

$v_{aproximacao}=2\sqrt{g}cos(\alpha )-(-2\sqrt gcos(\alpha ))=4\sqrt{g} cos(\alpha)$

Como a colisão é elástica, e = 1, o que nos leva a concluir que

$v_{afastamento}=4\sqrt{g} cos(\alpha)$

Sabemos, pela FIGURA 2, que

$v_{afastamento}=v'sen(\alpha +\theta)+V'cos(\alpha -\beta)$

Logo...

$v'sen(\alpha +\theta)+V'cos(\alpha -\beta)=4\sqrt{g}cos(\alpha)$

Além disso, as velocidades tangencias das esferas, individualmente, são mantidas constantes (conservação do momento). Desse modo:

$v'cos(\alpha +\theta )=2\sqrt{g}sen(\alpha)$

$V'sen(\alpha -\beta )=2\sqrt{g}sen(\alpha)$

Como $V'=2\sqrt{g}$ , segue que

$sen(\alpha - \beta)=sen(\alpha)$

$sen(\alpha - \beta)-sen(\alpha)=0$

$cos\left ( \alpha -\frac{\beta }{2} \right )sen\left ( \frac{\beta }{2} \right )=0$

$\beta = 0$ ou $\alpha -\frac{\beta}{2}=\frac{\pi }{2}$

Escolhemos a segunda opção, pois B sofre um leve desvio.

$\alpha -\frac{\beta}{2}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow \beta = 2\alpha -\pi$

Então...

$v'sen(\alpha +\theta)+V'cos(\alpha -\beta)=4\sqrt{g}cos(\alpha)$

$v'sen(\alpha +\theta )+2\sqrt{g}cos(\pi - \alpha)=4\sqrt{g}cos(\alpha )$

$v'sen(\alpha +\theta )=6\sqrt{g}cos(\alpha )$ ... (I)

Temos outra equação: $v'cos(\alpha +\theta )=2\sqrt{g}sen(\alpha)$ ... (II)

Fazendo I/II, vem:

$tan(\alpha +\theta )=\frac{3}{tan(\alpha)}$

$\frac{tan(\alpha )+tan(\theta )}{1-tan(\alpha)tan(\theta)}=\frac{3}{tan(\alpha)}$

$tan^{2}(\alpha )+tan(\alpha )tan(\theta )=3-3tan(\alpha )tan(\theta)$

$tan(\theta )=\frac{3-tg^{2}(\alpha )}{4tg(\alpha)}$

$tan(\theta )=\frac{3-4sen^{2}(\alpha)}{2sen(2\alpha)}=k$

Chamei de k apenas para facilitar a minha vida. Temos então:

$sen(\theta )=\frac{k}{\sqrt{1+k^{2}}}$ e $cos(\theta )=\frac{1}{\sqrt{1+k^{2}}}$ .

$sen(2\theta )=2sen(\theta )cos(\theta )=\frac{2k}{1+k^{2}}$ .

Da equação II, calculamos v'.

$v'=2\sqrt{g}\left ( \frac{sen(\alpha )}{cos(\alpha +\theta )} \right )$

$cos(\alpha +\theta )=cos(\alpha )cos(\theta )-sen(\alpha )sen(\theta )=\frac{cos(\alpha )-ksen(\alpha )}{\sqrt{1+k^{2}}}$

Jogamos tudo na equação do alcance, muito conhecida.

$L=\frac{v'^{2}sen(2\theta )}{g}$

$L=\frac{8sen^{2}(\alpha )k}{(cos(\alpha )-ksen(\alpha ))^{2}}$

Vamos calcular $cos(\alpha )-ksen(\alpha )$ .

$cos(\alpha )-ksen(\alpha )=cos(\alpha)-\frac{sen(\alpha)(3-4sen^{2}(\alpha))}{2sen(2\alpha)}$

$cos(\alpha )-ksen(\alpha )=\frac{2sen(2\alpha )cos(\alpha )-sen(3\alpha)}{2sen(2\alpha)}$

$cos(\alpha )-ksen(\alpha )=\frac{sen(\alpha)+sen(3\alpha)-sen(3\alpha)}{2sen(2\alpha)}$ (Após transformar produto em soma)

$cos(\alpha )-ksen(\alpha )=\frac{sen(\alpha)}{2sen(2\alpha)}$

Finalmente, substituindo em L:

$L=\frac{8sen^{2}(\alpha)}{\frac{sen^{2}(\alpha)}{4sen^{2}(2\alpha )}}.\frac{(3-4sen^{2}(\alpha ))}{2sen(2\alpha )}\Rightarrow \boxed{L=16sen(2\alpha )(3-4sen^{2}\alpha)}$

Essa questão é muito interessante. Note que em um dos passos poderíamos ter considerado que B não sofreu desvio algum, ou melhor, que sofreu um desvio insignificante. Foi o que fiz de primeira, por isso pedi o gabarito. Sempre que o tiver, poste. Isso ajuda de mais! Mais uma vez, desculpe pelos desenhos, mas espero que tenha entendido.

por **Elcioschin** em Qua 04 Jan 2017, 08:54

Excelente Gilberto !!!
Vou mudar a questão para o tópico "Questões fora de série - Física".
:LLamp:

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