Colisões,cinetica, sen e cos do arco duplo.

Uma esfera A,de massa muito menor que outra esfera B,encontra-se apoiada sobre B,sendo que a linha que une seus centros forma ângulo ∝ com a vertical.Ambas encontram-se inicialmente á uma altura h=2m em relação ao chão,em local de resistência do ar despresivel.Então elas são soltas,caem verticalmente,até que B colide com o chão e,imediatamente depois ,A colide com B e A é arremessada à distancia horizontal l,atingindo o chão,as colisoes são perfeitamente elásticas.E não há atrito e os raios das esferas são menores que l e h.Determine l em função de ∝.[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem][/img]

Olá Leon. Você tem o gabarito?

Sim tenho gilberto,eu já identifiquei como resolver o problema na partes dos

ângulos, porém acho que errei na parte da física.

Olha como fiz e se poder me dizer o que estou errando agradeço.

 Na vertical Vy=v°*sen(Ø) ======= Na horizontal Vx=v°*cos(Ø)

 Ø=(90°-∝)

Sen(Ø)=Sen(90°-∝)=Sen90°*Cos(∝)-Sen(∝)*Cos(90°)=Cos(∝)

Cos(Ø)=Cos(90°-∝)=Cos90°*Cos(∝)+Sen(90°)*Sen(∝)=Sen(∝)

Energia potencial gravitacional=Energia cinética

Como a colisões é perfeitamente elásticas a energia se conserva.

M*g*2+m*g*2=M*V²/2+m*v²/2  Em caso de queda livre os dois corpos

 chegam ao chão ao mesmo tempo com a mesma velocidade.Logo V=v.

V²=4g V°=2√g

Vy=2√g*Cos(∝) --------Vx=2√g*Sen(∝)

Tempo para atingir maior altura----0=2√g*Cos(∝)-g*t ---t=2√g*Cos(∝)/g

Tempo para atingir o ponto mais alto é o mesmo para cair ---Tempo total=4√g*Cos(∝)/g

Então L=2√g*Sen(∝)*4√g*Cos(∝)/g

[L=4*Sen(2∝)] Porém no gabarito está errado. olhe![Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem][/img]

Seu erro foi ter desconsiderado os desvios das trajetórias de A e de B imediatamente depois da colisão. O fato B ter massa bem maior que a de A garante apenas que a velocidade de B é praticamente igual antes e depois da colisão. Isso se deve ao fato da colisão ser elástica, havendo pois conservação da energia cinética. Essa é uma excelente questão, que exige muita atenção do estudante. Vejamos...

As duas esferas possuem raios muito menores que h e L, logo esses serão desconsiderados. Em primeiro lugar, temos a queda livre dos corpos. Por Torricelli:

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Essa velocidade é igual para A e B, pois a distância de A para o solo no momento da colisão é mediocremente pequena em relação a h ,segundo o enunciado. Então, B colide com o solo e como a colisão é elástica, sua velocidade é igual em módulo à velocidade anterior e orientada para cima. Temos a seguinte situação (desculpe o desenho, meu PC está um pouco bugado até pra fazer figuras em programas):

Imediatamente ANTES da colisão:

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Imediatamente DEPOIS da colisão:

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Conservação da energia cinética:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Note que 

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], pois [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Concluímos que a velocidade de B pode ser considerada a mesma antes e depois da colisão, pois a massa de A é insignificante perto da massa de B. Para estudarmos o que ocorre nesta colisão, fazemos uso do coeficiente de restituição, que é definido como 

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

As velocidades a serem consideradas são as radias. Isso é lógico. Temos que a velocidade relativa de aproximação imediatamente antes da colisão é, pela FIGURA 1:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Como a colisão é elástica, e = 1, o que nos leva a concluir que 

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Sabemos, pela FIGURA 2, que 

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Logo...

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Além disso, as velocidades tangencias das esferas, individualmente, são mantidas constantes (conservação do momento). Desse modo:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Como [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem], segue que 

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] ou [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Escolhemos a segunda opção, pois B sofre um leve desvio. 

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Então...

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] ... (I)

Temos outra equação: [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] ... (II)

Fazendo I/II, vem:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Chamei de k apenas para facilitar a minha vida. Temos então:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] e [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

Da equação II, calculamos v'.

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Jogamos tudo na equação do alcance, muito conhecida.

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Vamos calcular [Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem].

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem] (Após transformar produto em soma)

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Finalmente, substituindo em L:

[Tens de ter uma conta e sessão iniciada para poderes visualizar esta imagem]

Essa questão é muito interessante. Note que em um dos passos poderíamos ter considerado que B não sofreu desvio algum, ou melhor, que sofreu um desvio insignificante. Foi o que fiz de primeira, por isso pedi o gabarito. Sempre que o tiver, poste. Isso ajuda de mais! Mais uma vez, desculpe pelos desenhos, mas espero que tenha entendido.

Excelente Gilberto !!!
Vou mudar a questão para o tópico "Questões fora de série - Física".
:LLamp: