(IME - 1962) Geometria Espacial
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(IME - 1962) Geometria Espacial
Dá-se um cilindro reto de raio R e o cone reto inscrito de mesma base e mesma altura. A altura dos dois corpos deve ser tal que permita inscrever no espaço compreendido entre eles seis esferas iguais, cada uma tangente à duas outras e também às superfícies laterais do cone do cilindro e à base superior do cilindro. Os pontos de tangencia das esferas com o cone dado determinam um plano. Achar a relação entre o volume do cone dado e o do cone que possa ser destacado pelo plano acima citado.
ALDRIN- Membro de Honra
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Localização : Brasília-DF
Re: (IME - 1962) Geometria Espacial
Estou impossibilitado do postar imagens.Vou dar o passo a passo:
1) Desenhe um retângulo ABCD sendo AB a base do cilindro e do cone ---> AB = CD = 2.R ---> AD = BC = H
2) Seja M o ponto médio de AB (AM = BM = R) e e V o vértice do cone (CV = DV = R e MV = H)
3) Desenhe, no triângulo BCV uma circunferência, de raio r e centro O, tangente a CV em P, a BC em Q e a BV em S
Trace MV e e seja θ = A^VM = BVM ---> V^BM = θ ---> O^BS = O^BQ = θ/2
tgθ = tg(A^VM) ---> tgθ = AM/MV ---> tgθ = R/H
OP = OQ = OS = r ---> CP = CQ = r ---> BQ = BC - QC ---> BQ = H - r
BS = BQ ---> BS = H - r
tg(O^BS) = OS/BS ---> tg(θ/2) = r/(H - r)
tgθ = 2.tg(θ/2)/[1 - tg²(θ/2)] ---> Substitua e calcule r
Sejam O' e S' o centro da circunferência simétrica, no triângulo ADV e o ponto simétrico de S em relação à MV
SS' é o diâmetro do círculo das 6 esferas. Basta Calculá-lo através de semelhança de triângulos.
O' e S'
1) Desenhe um retângulo ABCD sendo AB a base do cilindro e do cone ---> AB = CD = 2.R ---> AD = BC = H
2) Seja M o ponto médio de AB (AM = BM = R) e e V o vértice do cone (CV = DV = R e MV = H)
3) Desenhe, no triângulo BCV uma circunferência, de raio r e centro O, tangente a CV em P, a BC em Q e a BV em S
Trace MV e e seja θ = A^VM = BVM ---> V^BM = θ ---> O^BS = O^BQ = θ/2
tgθ = tg(A^VM) ---> tgθ = AM/MV ---> tgθ = R/H
OP = OQ = OS = r ---> CP = CQ = r ---> BQ = BC - QC ---> BQ = H - r
BS = BQ ---> BS = H - r
tg(O^BS) = OS/BS ---> tg(θ/2) = r/(H - r)
tgθ = 2.tg(θ/2)/[1 - tg²(θ/2)] ---> Substitua e calcule r
Sejam O' e S' o centro da circunferência simétrica, no triângulo ADV e o ponto simétrico de S em relação à MV
SS' é o diâmetro do círculo das 6 esferas. Basta Calculá-lo através de semelhança de triângulos.
O' e S'
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: (IME - 1962) Geometria Espacial
Obrigado, meu camarada.
ALDRIN- Membro de Honra
- Mensagens : 950
Data de inscrição : 29/07/2009
Idade : 40
Localização : Brasília-DF
Re: (IME - 1962) Geometria Espacial
Oi, Aldrin, onde vc achou esta questao?
botelhopir2- Iniciante
- Mensagens : 8
Data de inscrição : 11/07/2019
Idade : 46
Localização : Brasilia
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