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(IME - 1962) Geometria Espacial

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Mensagem por ALDRIN Qua 21 Dez 2016, 12:34

Dá-se um cilindro reto de raio R e o cone reto inscrito de mesma base e mesma altura. A altura dos dois corpos deve ser tal que permita inscrever no espaço compreendido entre eles seis esferas iguais, cada uma tangente à duas outras e também às superfícies laterais do cone do cilindro e à base superior do cilindro. Os pontos de tangencia das esferas com o cone dado determinam um plano. Achar a relação entre o volume do cone dado e o do cone que possa ser destacado pelo plano acima citado.
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Mensagem por Elcioschin Qui 22 Dez 2016, 12:09

Estou impossibilitado do postar imagens.Vou dar o passo a passo:

1) Desenhe um retângulo ABCD sendo AB a base do cilindro e do cone ---> AB = CD = 2.R ---> AD = BC = H

2) Seja M o ponto médio de AB (AM = BM = R) e e V o vértice do cone (CV = DV = R e MV = H)

3) Desenhe, no triângulo BCV uma circunferência, de raio r e centro O, tangente a CV em P, a BC em Q e a BV em S

Trace MV e  e seja θ = A^VM = BVM ---> V^BM = θ ---> O^BS = O^BQ = θ/2

tgθ = tg(A^VM) ---> tgθ = AM/MV ---> tgθ = R/H

OP = OQ = OS = r ---> CP = CQ = r ---> BQ = BC - QC ---> BQ = H - r

BS = BQ ---> BS = H - r

tg(O^BS) = OS/BS ---> tg(θ/2) = r/(H - r)

tgθ = 2.tg(θ/2)/[1 - tg²(θ/2)] ---> Substitua e calcule r



Sejam O' e S' o centro da circunferência simétrica, no triângulo ADV e o ponto simétrico de S em relação à MV
SS' é o diâmetro do círculo das 6 esferas. Basta Calculá-lo através de semelhança de triângulos.
 O' e S' 


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Mensagem por ALDRIN Qua 04 Jan 2017, 10:31

Obrigado, meu camarada.
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Mensagem por botelhopir2 Seg 30 Set 2019, 07:50

Oi, Aldrin, onde vc achou esta questao?

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