Medida do ângulo

Sobre a reta r,tomamos três pontos consecutivos B,C e E,tais que BC diferente de CE.Sobre BC constrói-se o triângulo equilatero ABC e sobre BE um triangulo isósceles DBE,em que os ângulos iquais medem 20°.Sabendo que A,D e E são colineares,pede-se para calcular o ângulo B^DC

faça um desenho bem caprichado. Não o faço porque, no momento, não tenho condições. Uma dica: o ponto D fica bem à esquerda (na folha) do ponto B; e os ângulos de 20º ficam em D e E.

com base no desenho feito, acompanhe o raciocínio.

triâng. ABC é equilátero ----> todos os ângs. internos têm 60º.
^E = 20º .....dado do problema
^ACE = 180º - ^ACB = 180º - 60º = 120º
^CAE = 180º - (^ACE + ^E) = 180º - (120º + 20º) = 40º
^DAB = 180º - (^BAC + ^CAE) = 180º - (60º + 40º) = 80º
^D = 20º ....dado do problema
^ABD = 180º - (^BAD + ^D) = 180º - (80º + 20º) = 80º

note que o triâng. DBA também é equilátero, de base AB, pois tem dois ângulos iguais (de 80º)

a partir de agora, fixe no quadrilátero DACB. Ele é formado por dois triângs. equiláteros: DBA e ABC. De tal sorte que, neste quadrilátero, temos igualdade entre os comprimentos de dois lados tomados dois a dois:
DA + AC = DB + BC ;
e, também, os ângulos opostos: ^A = ^B = 80º + 60º = 140º.

ora, se traçarmos o segmento DC, este dividirá o quadrilátero exatamente ao meio, em partes congruentes. Portanto, tal segmento será a bissetriz dos ângulos ^D e ^C do quadrilátero.

logo, ^BDC = ^D/2 = 20º/2 ----> ^BDC = 10º