Semelhança de triângulos

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Semelhança de triângulos

Mensagem por dani1801 em Sex Nov 04 2016, 21:10

(Fuvest) Na figura o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4.Além disso , o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo.Se DE = 3/2 então a área do paralelogramo DECF vale:
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R:63/25

Não estou conseguindo resolver por semelhança de triângulos...
DF=EC=3/2 certo? 
Por que não posso dizer que ADF ~  ABC  ou  DBE ~ ABC? não consigo resolver nem dividindo em dois triângulos retângulos nem usando a área do paralelogramo b.h (ou estou fazendo algo muito errado)

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Re: Semelhança de triângulos

Mensagem por Elcioschin em Sex Nov 04 2016, 22:15

AC/BC = DE/BE ---> 5/3 = (3/2)/BE ---> BE = 9/10

CE = BC - BE ---> CE = 3 - 9/10 ---> CE = 21/10

AC/AB = DE/DB ---> 5/4 = (3/2)/DB ---> DB = 12/10 --->DB = 6/5

S = CE.DB ---> S = (21/10).(6/5) ---> S = 63/25
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Re: Semelhança de triângulos

Mensagem por dani1801 em Sex Nov 04 2016, 23:33

Elcioschin... muito obrigada! ficou fácil com sua explicação
só estou com uma pequena dúvida
para mim só era possível calcular a altura usando a primeira imagem 
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Então é possivel achar a área ''invertendo''  mudando altura e base?

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Re: Semelhança de triângulos

Mensagem por EsdrasCFOPM em Sab Nov 05 2016, 07:14

Sim, é possível dos 2 jeitos.

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Usando a 1ª imagem.

AC/AB=FD/FZ
5/4=21/10/x
5x=(21.4)/10
x=42/25

Área=DE.x
A=(3/2).(42/25)
A=126/50
A=63/25
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Re: Semelhança de triângulos

Mensagem por ivomilton em Sab Nov 05 2016, 15:00

dani1801 escreveu:(Fuvest) Na figura o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4.Além disso , o ponto D pertence ao cateto AB , o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC , de tal forma que DECF seja um paralelogramo.Se DE = 3/2 então a área do paralelogramo DECF vale:
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R:63/25

Não estou conseguindo resolver por semelhança de triângulos...
DF=EC=3/2 certo? 
Por que não posso dizer que ADF ~  ABC  ou  DBE ~ ABC? não consigo resolver nem dividindo em dois triângulos retângulos nem usando a área do paralelogramo b.h (ou estou fazendo algo muito errado)
Boa tarde, dani1801.

(AC)² = (AB)² + (BC)²
(AC)² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
AC = √25
AC = 5

FC//DE
FC = DE
FC = 3/2

AF = AC - FC
AF = 5 - 3/2 = 7/2

Devido à semelhança entre os triângulos ADF e ABC, fica:
AD/AB = AF/AC
AD/4 = 7/2 / 5
5*AD = 4 * 7/2 = 14 
AD = 14/5

AD/DF = AB/BC
14/5 / DF = 4/3
14/5 = 4/3 * DF
DF = 14/5 : 4/3 = 14/5 * 3/4 = 42/20 = 21/10

Medidas dos lados do paralelogramo:
Parte horizontal = 21/10
Parte inclinada = 3/2

S(paralelogramo) = b.h/2 (falta-nos calcular sua altura)

De F, baixe uma perpendicular à base DE, nomeando pela letra H o pé dessa altura h.
Temos, assim, construído o triângulo FHD que é semelhante ao triângulo ABC (ambos são triângulos retângulos, com ângulos FDE e ACB iguais entre si).

FH/FD = AB/AC
FH/(21/10) = 4/5
FH = 4/5 * 21/10 = 84/50 = 42/25

Finalmente:
S(paralelogramo) = bh = DE*FH = (3/2)(42/25) = 126/50 = 63/25


Um abraço.
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