Geometria Plana

Um monumento arquitetonico foi construído tendo por base as regiões 1 e 2 da figura abaixo, que são delimitadas por duas semicircunferências (NFM e MFP) e um quarto de circunferência (NGP). Sabe-se que o valor da construção sobre a região 1 está para a área da região 1 assim como o valor da construção sobre a região 2 está para a área da região 2.



Se, na parte construída sobre a região 1, foram gastos R$ 5.000,00 podemos afirmar que, na parte construída sobre a região 2, foram gastos?

Resp: R$ 5.000,00

alguém?

isso não é complicado, becalima.

Como são suas semicircunferências e 1/4 de circunferência, então o quadrilátero MNOP é um quadrado. Seja L o lado desse quadrado.
E o ponto F está no encontro das diagonais desse quadrado.

cálculo da área da região 1

Seja F' o ponto médio so segmento MN.

a área do triângulo MFF' será: -------------------------> Sa = L²/8
a área do setor circular MF com centro em F' será: -----> Sb = (1/4)pi(L/2)² = (1/16)pi.L²
a área de meia pétala da região 1 será: ----------------> Sc = (1/16)pi.L² - L²/8 = (L²/8)(pi/2 - 1)
a área da região 1 (pétala) será: ----------------------> S₁ = 28(L²/8)(pi/2 - 1) = (L²/4)(pi/2 - 1)

cálculo da área da região 2

a área do setor circular PN com cento em M será: -----> Sd = (1/4)pi.L²
a área do triângulo MNP será:-------------------------> Se = L²/2
a área da região 2 será:
S₂ = Sd - Se - 2*Sc
S₂ = (1/4)pi.L² - L²/2 - (1/8)pi.L² + L²/4
S₂ = pi.L²/8 - L²/4
S₂ = (L²/4)(pi/2 - 1)

portanto S₂ = S₁

logo S₂ também custou R$5.000,00.

Medeiros, primeiramente, muito obrigada pela paciencia para resolver essa questão
eu não entendi a área da meia pétala da região 1, segui seu raciocinio e deu L²(pi - 2)/16, não consegui chegar ao (L²/8 )(pi/2 - 1). Assim como a área da região 1 que só consegui chegar a L²(pi - 2)/8.

Também nao entendi pq o resultado de 2*Sc deu (1/8)pi.L² + L²/4 =/

Deu certo, obrigada, eu nao estava enxergando q os dois segmentos circulares do setor PN são iguais a meia pétala da região 1 =)