Morgado II - Exc. 290

por Pietro Tavares Seg 31 Out 2016, 20:55

Não peço que efetue todos os cálculos, uma indicação de quais relações utilizar já seria o suficiente.

290) Em um triângulo ABC a soma das alturas Ha + Hb + Hc é igual a:

A) \frac{ab + bc + ca}{2R}
B) \frac{ab + bc + ca}{4R}
C) \frac{abc}{4R^2}
D) \frac{abc}{2R^2}
E) NRA

Não possuo o gabarito.

por Pietro Tavares Seg 31 Out 2016, 21:35

Acabei conseguindo resolver, devo excluir o post?

De qualquer forma postarei a resolução:
Ha = \frac{2}{a}.\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Mas \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = S .
Logo, Ha = \frac{2}{a}.S

Análogamente,
Hb = \frac{2}{b}.S

Hc = \frac{2}{c}.S

Ha + Hb + Hc = S(\frac{2}{a} + \frac{2}{b} + \frac{2}{c})
Ha + Hb + Hc = S(\frac{2ab + 2ac + 2bc}{abc})

Desenvolvendo, chegamos em:
Ha + Hb + Hc = \frac{ab + ac + bc}{2R}
Alternativa A

por **Elcioschin** Seg 31 Out 2016, 21:37

O enunciado esqueceu de dizer o que é R: vou supor que é o raio do circulo circunscrito.

Como é uma questão de múltipla escolha, vamos resolver usando um artifício. Já que a questão vale para qualquer triângulo vamos considerar um triângulo equilátero de lado x = a = b = c

Altura do triângulo ---> Ha = Hb = Hc = x.√3/2 ---> Ha + Hb + Hc = x.3.√3/2

Raio do círculo circunscrito ---> R = x.√3/3

A) (ab + bc + ca)/2.R = (x² + x² + x²)/2.(x.√3/3) ---> x.√3/2 --> Pode estar correta

B) Obviamente está errada

C) abc/4.R² = x.x.x/4.(x²/3) = 3.x/4 ---> Errada

D) a.b.c/R² = x³/(x²/3) = 3.x ---> Errada

Evidentemente pode ser que a alternativa A esteja errada; neste caso a E estaria certa.

Ou então a A está certa e a E errada

Pelo menos temos 50 % de chance de acertar (ao invés de 20 %)

Eu votaria na A

por Pietro Tavares Ter 01 Nov 2016, 10:56

Mestre Elcio,

Devo admitir que sou um grande fã deste artifício rsrs.
Em uma prova, caso eu não me recordasse daquela "fórmula" da altura e tivesse um momento de genialidade, teria feito exatamente o que você fez.

Abraço.

por **Elcioschin** Ter 01 Nov 2016, 11:50

Sim, isto economiza tempo.
Mas só pode ser utilizada em questões de múltipla escolha.
Em questões discursivas não pode. O máximo que você poderia fazer é usar os dados obtidos no teste das alternativas, para conferir se sua demonstração discursiva estava certa.

Para não ter que lembrar daquela fórmula:

S = Área do triângulo = (base x altura)/2---> S = a.Ha/2 = b.Hb/2 = c.Hc/2 --->

Ha = 2.S/a ---> Hb = 2.S/b ---> Hc = 2.S/c

por Pietro Tavares Ter 01 Nov 2016, 15:19

Perfeitamente.
Resta saber/saber deduzir rapidamente um vasto número de "fórmulas", afinal elas simplificam raciocínios e, convenhamos, no vestibular não se tem lá muito tempo para raciocinar...

Obrigado mais uma vez pela atenção mestre,
Um abraço.