Relações Métricas

Um círculo de raio r encontra-se inscrito em um triângulo ABC isósceles , retângulo em B, que por sua vez , está inscrito em um círculo de raio R .

é correto afirmar que r/R , é igual a :

R:1/√2+1

Nota: Atente-se para a utilização de parêntesis na resposta, pois a mesma está ambígua.

Muito obrigado pela resposta 

Imagem postada.

Disponha!

Pelas áreas dos triângulos e simetrias:

E Giovana cada dia mais afiada ! !

Continue assim ! :vfg: ! 

Vamos Lá ! !

:tiv:  :bball:  :tiv:

Outro modo, aproveitando o desenho da Giovana.

Para concursos, a solução mais rápida pode ser dado pelo conhecimento de:


r / R = cos + cosÊ + cosÔ - 1


Onde r e R  são os raios dos círculos inscritos e circunscritos, respectivamente, e  Â, Ê e Ô os ângulos do triângulo.

Nesse caso:

 = 90°, Ê = Ô = 45°

r / R =  0 + √2/2 + √2/2 - 1 = √2 - 1

= 1 / (√2 + 1) )

Também, o conhecimento de  dois teoremas importantes, são interessantes e produtivos:

1) Carnot (o pai do Carnot do "ciclo termodinâmico")

R + r = DG + DH + DF

Onde DG, DH e DF são as "distâncias sinalizadas" entre o circuncentro e os lados do triângulo.

Se os segmentos de reta que representam as distâncias tiverem qualquer ponto pertencente à região interna do triângulo, o valor destes serão positivos.

Caso contrário, os segmentos representativos estando completamente exteriores ao triângulo, os valores das "distâncias" serão negativos.

No caso seguinte, teremos:



R + r = DG + DH - DF


2) Euler ( O "Rei")

A relação entre o quadrado da distância entre o incentro e o circuncentro de um triângulo qualquer e os "in-raio" e "circun-raio" é dada por:

d² = R(R-2r)

Então:

d = √( R(R-2r) )

Ou:

1  / (R + d) + 1 / (R - d) = 1 / r

O teorema tem um importante corolário, a "Desigualdade de Euler":

R ≥ 2r

Sendo igual somente para triângulos equiláteros.


Deixo, para quem gosta de demonstrações, o prazer de demonstrá-las... ...