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fórmula de Euler+identidade de Euler.

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fórmula de Euler+identidade de Euler. Empty fórmula de Euler+identidade de Euler.

Mensagem por leon030299 Qua 14 Set 2016, 13:54

neste espaço, vou demonstrar a fórmula de Euler, requisito para a compreensão da identidade de Euler que será demonstrado após aquela.
é necessário a compreensão plena de números complexos e um pouco de cálculo, então vamos lá:
a formula que vamos demonstrar é:
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif.latex?e%5E%7Bi%5Cvarphi%20%7D%3Dcos%5Cvarphi+i
começando supondo que todos nós temos pleno conhecimento da fórmula polar onde
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif tal que z é complexo, r=modulo de z onde 
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif para {a,b} pertencentes a R (z ={a,b}) pois os complexos = R x R logo o conjunto dos complexos pode ser escrito(isomorfo) a RxR.
e theta em argumento de z.
então temos a seguinte formula para o numero e^(ix) sendo i^2=-1 com r=r(x) e theta=theta(x)
eq(I)fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif multiplicamos por i 
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif guardemos por enquanto como eq(II)


voltamos à eq(I) vamos definir as derivadas:
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif ; fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif e a derivada de e^(ix)=i.e^(ix) 
derivando eq(I) temos(lembre da regra da cadeia):
d(cos)=-sen d(sen)=cos
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif.latex?i.e%5E%7Bix%7D%3Dr%27%28x%29%28cos%5Ctheta+isen%5Ctheta%29+r%28-sen%5Ctheta.%5Ctheta%27%28x%29+icos%5Ctheta eq(III)
sabemos que eq(II)=eq(III) e que esses números complexos para serem iguais devem possuir a mesma parte real e a mesma parte imaginária, logo igualamos a parte real e a imaginária de um à do outro:

fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif parte real eq(R)
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif    parte imaginária eq(T) 

agora multiplicamos a parte real por (cos(theta)) e a imaginaria por (sen(theta) e somamos, sabendo que cos^2+sen^2=1
resolvendo esse sistema teremos que r'(x)=0, substituindo isso na eq(T) deduzimos que:
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif com r'(x)=0 e theta'(x)=1 vamos integrar essas duas, integramos r'(x)=0 (uma função constante) r(x)=c
integramos theta'(x)=1 , theta(x)=x+d
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif sendo c e d uma constante.
supondo x=0 :
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif portanto:
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif sabemos que a parte real=1 e a parte imaginaria =0 pela igualdade mostrada na equação.

                                              fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif      elevamos as duas ao quadrado e somamos
                                              fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif
----------------------------------------------------------------------------

fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif, sen^2+cos^2=1 temos r(o)=+/-1 como r é um vetor r>=0 logo r(0)=1 
tendo r(x)=c, r(0)=c, c=1. r(x)=1
lembre-se que : fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif
no sisteminha acima com r(0)=1 temos
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gifé fácil notar que fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif
sendo theta(x)=x+d, theta(0)=0+d, d=0 e portanto theta(x)=x
lembrando a Eq(I)
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif substituindo r(x) e theta(x)
                                                                      --fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif--
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
provada a formula de Euler, supondo fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif
fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif
portanto

fórmula de Euler+identidade de Euler. Gif,por fim.
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