Fórmula importante

A recorrência de uma importante fórmula na Matemática, na Física e na Química

Comumente nos deparamos, ao estudar Matemática, Física e Química, com a seguinte fórmula:

1/x = 1/a₁ + 1/a₂ + … + 1/a_n

Certamente muitos profissionais a usam, no dia-a-dia: Engenheiros, Matemáticos, Geólogos, Físicos, Astrônomos, Economistas, Médicos, Professores de Matemática e Física, Eletricistas, Eletrônicos, etc.

Vejamos alguns exemplos:

1) Em Matemática temos o conceito de Média Harmônica: por exemplo, a média harmônica (M_h) de n números a₁, a₂, ... a_n é dada por:  

    M_h = n/(1/a₁ + 1/a₂ + … + 1/a_n)   ou  n/M_h = 1/a₁ + 1/a₂ + ⋯ + 1/a_n ou
    1/(M_h/n) = 1/a₁ + 1/a₂ + … + 1/a_n


https://pir2.forumeiros.com/t204416-matematica-basica-fracoes#701801

2) Num heptágono regular ABCDEFG temos:  1/AB = 1/AC + 1/AD

    https://pir2.forumeiros.com/t4798-ufjf-1965-heptagono-regular?highlight=Hept%C3%A1gono

3) Na figura da questão abaixo onde AM // BN // PC, temos:  1/CP = 1/AM + 1/BN  

    https://pir2.forumeiros.com/t109293-hungria-1905#380144

4)  Numa questão sobre polígonos regulares:

     https://pir2.forumeiros.com/t120163-poligonos-regulares#418764

5)  Numa questão sobre um triângulo especial:

     https://pir2.forumeiros.com/t120433-baltica-98#419765

6) Numa questão sobre trapézio retângulo:

    https://pir2.forumeiros.com/t124133-trapezio-retangulo#433194

7)  Numa questão sobre séries geométricas, envolvendo parte do cálculo da energia média de uma onda, de acordo com a hipótese de Planck:

.......∞ ..................... 1 ........... 1 ........ 1 ........ 1 ........ 1
 ..    ∑ e^-n.α = ---------  = ----- + ----- + ----- + ----- + .......
......n=0 ......... 1 - e^-α ....... e⁰ ...... e^α .... e^2.α .... e^3.α

8 ) Nos famosos problemas sobre torneiras, por exemplo: uma torneira A enche um tanque num tempo Ta e outra B num tempo Tb; o tempo T para ambas encherem o tanque é dado por:  1/T = 1/Ta + 1/Tb

    E a questão admite variantes, como por exemplo: o dreno do tanque esvazia o tanque num tempo Td; com o tanque cheio e ambas as torneiras e o dreno abertos, o tanque é esvaziado num tempo T dado por: 1/T = 1/Ta + 1/Tb - 1/Td

Ex.: https://pir2.forumeiros.com/t170936-razao-e-proporcao#597799

Ex.: https://pir2.forumeiros.com/t207738-reservatorio-alimentado-por-torneiras

9 ) Na mecânica, quando um móvel em MRU percorre duas distâncias iguais d, com velocidades médias Va e Vb, a velocidade média final é dada por:

1/Vm = 1/2.Va + 1/2.Vb  ou  1/(Vm/2) = 1/Va + 1/Vb --> 2/Vm = 1/Va + 1/Vb


https://pir2.forumeiros.com/t204416-matematica-basica-fracoes#701801

10) Na associação de molas em série: 1/k_eq = 1/k₁  + 1/k₂ + 1/k₃ + ......

11) Na Óptica, temos a Equação de Gauss:  1/f = 1/p + 1/p'

12) Na Eletricidade, para n resistores em paralelo:  1/R_e = 1/R₁ + 1/R₂ + … + 1/R_n

       O mesmo vale para o resistor interno equivalente de geradores em paralelo

13) Na Eletricidade, para n capacitores em série:  1/C_e = 1/C₁ + 1/C₂ + … + 1/C_n

14) Na Eletricidade, o cálculo do potencial de várias cargas Q num determinado ponto e da energia potencial  elétrica de uma carga q colocada neste ponto:

     U = k.Q₁/r₁ + k.Q₂/r₂ + k.Q₃/r₃ + ..... --->1/(k/U) = 1/(r_1/Q₁)+ 1/(r₂/Q₂) + 1/(r₃/Q₃) .....

     Ep = k.Q₁.q/r₁ + k.Q₂.q/r₂ + k.Q₃.q/r₃ + ..... ---> 1/(k.q/Ep) = 1/(r₁/Q₁) + 1/(r₂/Q₂) + 1/(r₃/Q₃)+ ....

15) Num problema prático sobre grandezas proporcionais:

https://pir2.forumeiros.com/t137294-grandezas-proporcionais#481059

16) Numa questão sobre duas caixas de som:

https://pir2.forumeiros.com/t140555-duas-pilhas-e-uma-caixa-de-som#492508

17) Numa questão sobre carregamento de caminhões: 

https://pir2.forumeiros.com/t15927-resolvidocms-2007-carregando-caminhao

18) Numa questão sobre duas portas em uma boite: 

https://pir2.forumeiros.com/t144246-questao-de-aritmetica#507596

19) Numa questão sobre "Relação do raio do círculo inscrito e os raios dos três círculos ex-inscritos  em um triângulo": a solução está numa mensagem posterior a esta.

20) Numa questão sobre Química: https://pir2.forumeiros.com/t142619-sera-ou

21) Numa questão sobre rendimentos na execução de determinada atividade:

https://pir2.forumeiros.com/t148825-simulado-bernoulli-2018

Artigo com novos itens sugeridos pelos colegas Nina Luizet, estraveneca, InocencioHildebrandoCeara, William Honorio

22) Há outro exemplo na Física, também com conceito de massa reduzida. Dois blocos de massas M1 e M2 unidos por uma única mola descrevendo um MHS pode ser tratado como um sistema único de massa reduzida dada por:

(1/Mreduzida)=(1/M1)+(1/M2).

23) Na Geometria Euclidiana. Expressão que nos fornece o valor da altura relativa à hipotenusa num triângulo retângulo: (1/h² )= (1/b²) + (1/c²) em que b e c são os catetos.

24) Na Óptica, a fórmula para calcular a vergência de n lentes justapostas: (1/feq) = (1/f1) + (1/f2) +...+ (1/fn)

https://pir2.forumeiros.com/t183780-lentes-em-maquina-fotografica

25) Numa questão de Geometria Plana, sobre dois muros abalados por um terremoto:

https://pir2.forumeiros.com/t16012-semelhanca-de-triangulos-e-teorema-de-tales#526504

26) Numa questão de Máquinas com capacidades diferentes: https://pir2.forumeiros.com/t159088-algebra#557620

27) Numa questão sobre produtividade de trabalhadores:
https://pir2.forumeiros.com/t162189-unifor-2014-q2-razao-e-proporcao#568202

28) Numa questão sobre as alturas de um triângulo qualquer e raio do círculo inscrito
https://pir2.forumeiros.com/t170946-desafio-matematica9-1-2-geometria-plana

29) Numa questão sobre manutenção de estradas numa fazenda, postada pelo colega CogitoErgoGre: 
https://pir2.forumeiros.com/t171704-fip-moc-medicina-2019-razao-e-proporcao#600380

30) Numa questão sobre pilhas alcalinas que alimentam uma caixa de som, com média harmônica, postada pelo colega ike: 

https://pir2.forumeiros.com/t177057-alcalinas#616847

31) Numa questão de Geometria com triângulo e três retas paralelas passando pelos vértices:

https://pir2.forumeiros.com/t182134-triangulos

32) Numa questão sobre produtividade de costureiras: https://pir2.forumeiros.com/t182698-produtividade

33) Similar ao 32: https://pir2.forumeiros.com/t197654-regra-de-tres#680809

34) Numa questão sobre o comprimento da bissetriz x de um ângulo interno:

https://pir2.forumeiros.com/t201300-teorema-da-bissetriz

Certamente o presente artigo poderá ser enriquecido com outros exemplos. Contribuam.

Não sei se enquadra:


E as fórmulas para os resistores e capacitores também são aplicadas para os geradores associados :

Associação de molas em série:

1/keq = 1/k1 + 1/k2...

Nina Luizet e extraveneca

Tanto o caso dos geradores em paralelo quanto o das molas em série se enquadram.

O caso da energia potencial elétrica resultante de cargas diferentes não se enquadra porque não dá para se ter o numerador 1 em todas as parcelas. 

Já o potencial elétrico resultante, num ponto P, devido a várias cargas elétricas iguais, situadas à distâncias diferentes do ponto, se enquadra:

Ur = k.Q/r₁ + k.Q/r₂ = k.Q/r₃ + ......

1/(kQ/Ur) = 1/r₁ + 1/r₂ = 1/r₃ + ......

Obrigado pelas contribuições. Enriqueceram o tópico.

Pessoal

Hoje, 21/09/2016, para minha surpresa, foi postada uma questão de Geometria Plana que se encaixa nesta fórmula:

https://pir2.forumeiros.com/t119480-canada-demonstracao-raio-do-circulo#415984a

Em séries geométricas também?

 
Parte do cálculo da energia média de uma onda de acordo com a hipótese de Planck.

Inocencio

Acho que sim, pois, a fórmula poderia ser colocada assim:

e⁰ + e^-α + e^-2α + ...... = 1/(1 - e^-α)

Invertendo, temos:

1/(1 - e^-α) = 1/1 + 1/e^α + 1/e^2α + ....

Nova surpresa: uma nova questão de Geometria Plana, postada hoje, 05/10/2016, encaixa-se perfeitamente na fórmula;

https://pir2.forumeiros.com/t120163-poligonos-regulares#418764

Novíssima surpresa, hoje 09/10/2016: mais uma questão de geometria que atende à fórmula:

https://pir2.forumeiros.com/t120433-baltica-98#419765