Relações de Girard e Triângulo de Pascal
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Relações de Girard e Triângulo de Pascal
As relações de Girard até polinômios de 3º grau é tranquilo, mas e para polinômios de grau 4 pra cima? Assim , a maioria dos materiais didáticos dizem que são raízes tomadas duas a duas, três e três etc. Não consigo entender isso! Tem outra maneira de lembrar ou só decorando mesmo? Sobre triângulo de Pascal, pode ser vantajoso decorar pelo menos até 6 para evitar trabalho na hora de um vestibular durante a aplicação do binômio de Newton?? Grato.
Willian Honorio- Matador
- Mensagens : 1271
Data de inscrição : 27/04/2016
Idade : 27
Localização : São Paulo
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
Willian Honorio escreveu:...As relações de Girard até polinômios de 3º grau é tranquilo, mas e para polinômios de grau 4 pra cima? Assim , a maioria dos materiais didáticos dizem que são raízes tomadas duas a duas, três e três etc. Não consigo entender isso! Tem outra maneira de lembrar ou só decorando mesmo?... :aac:
são combinações das raízes tomadas UMA a UMA, duas a duas, três e três etc.
2º Grau: 2 raízes
x1 + x2 = – b/a ----------------------> 1 a 1
x1 * x2 = c/a 2 a 2----------------------> 2 a 2
3º Grau: 3 raízes
x1 + x2 + x3 = – b/a----------------------> 1 a 1
x1 * x2 + x1 * x3 + x2 * x3 = c/a----------------------> 2 a 2
x1 * x2 * x3 = – d/a----------------------> 3 a 3
4º Grau:
x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a----------------------> 1 a 1
x1 * x2 + x1 * x3 + x1 * x4 + x2 * x3 + x2 * x4 + x3 * x4 = c/a----------------------> 2 a 2
x1 * x2 * x3 + x1 * x2 * x4 + x1 * x3 * x4 + x2 * x3 * x4 = – d/a----------------------> 3 a 3
x1 * x2 * x3 * x4 = e/a----------------------> 4 a 4
... Sobre triângulo de Pascal, pode ser vantajoso decorar :aac: pelo menos até 6 para evitar trabalho na hora de um vestibular durante a aplicação do binômio de Newton?? Grato....
Não se "decora" o "Triângulo de Pascal" !
Se constrói !!!
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 1
Cada número é a soma do número acima e do anterior ao número acima.
Eu, antes de começar a prova, sempre fiz e ainda faço até a linha 11 ( começa da zero...).
Sempre vai se ganhar tempo. E tempo é importante em concursos...
Faça agora, de castigo :twisted: :
1) Relações (Identidades) de Newton-Girard para polinômio do 5º grau
2) Triângulo de Pascal ( de Pingala, de Omar Kayan, de Yang Hui, de Tartaglia, ... ) até a linha 16 !
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
Eu também tinha esse problema com essas relações até me deparar com essa fórmula.
S(i) = (-1)^i * a(n-i) / a(n)
Por exemplo, raízes tomadas cinco a cinco de uma equação do sexto grau.
S(5) = (-1)^5 * a(1) / a(6)
Levando em conta que isso é uma notação pra equação abaixo:
a(6)x^6 + a(5)x^5 + a(4)x^4 + a(3)x^3 + a(2)x^2 + a(1)x^1 + a(0) = 0
Como você toma cinco a cinco? Imagina que as raízes são as horas de um relógio, você vai com o ponteiro pegando elas de cinco em cinco. É como se estivesse girando um círculo.
x1x2x3x4x5 + x2x3x4x5x6 + x3x4x5x6x1 + x4x5x6x1x2 + x5x6x1x2x3 + x6x1x2x3x4+ x1x2x3x4x5
Opa! Voltamos na primeira, já pode parar de girar.
S(i) = (-1)^i * a(n-i) / a(n)
Por exemplo, raízes tomadas cinco a cinco de uma equação do sexto grau.
S(5) = (-1)^5 * a(1) / a(6)
Levando em conta que isso é uma notação pra equação abaixo:
a(6)x^6 + a(5)x^5 + a(4)x^4 + a(3)x^3 + a(2)x^2 + a(1)x^1 + a(0) = 0
Como você toma cinco a cinco? Imagina que as raízes são as horas de um relógio, você vai com o ponteiro pegando elas de cinco em cinco. É como se estivesse girando um círculo.
x1x2x3x4x5 + x2x3x4x5x6 + x3x4x5x6x1 + x4x5x6x1x2 + x5x6x1x2x3 + x6x1x2x3x4
Opa! Voltamos na primeira, já pode parar de girar.
ruanchaves93- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 168
Data de inscrição : 16/02/2016
Idade : 30
Localização : Palmas - TO - Brasil
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
ruanchaves93 escreveu:Eu também tinha esse problema com essas relações até me deparar com essa fórmula.
S(i) = (-1)^i * a(n-i) / a(n)
O grande problema da educação, principalmente da matemática, no Brasil e no resto do planeta, é que quem "ensina" parte do princípio errado: o do "caminho mínimo".
A enorme maioria quer usar somente um caminho - o próprio -, sem compreender que cada ser é distinto de qualquer outro.
A enorme maioria quer esforço mínimo, para si.
" Eu explico assim e só assim ! Se puder, entenda, senão decore ! "
Isso causa, causou e causará uma geração de preguiçosos mentais !
Capazes de decorar problemas e soluções.
Mas, incapazes de resolver problemas novos ou desconhecidos, que não conduzam a qualquer solução ou método decorado.
Tive a honra e o prazer de conhecer pessoalmente uma das pessoas mais admiráveis, para mim e muitos outros:
O prêmio Nobel de Física e educador Richard Feynman no CBPF, onde eu estagiava e, ele, lecionava num curso de pós-doutorado em Física Nuclear e Astrofísica para doutores brasileiros.
Nessa época ele disse e escreveu algo assim:
"Foi a turma mais aplicada que eu tive em todo a minha vida docente. Sabiam resolver todos os problemas que eu ou outros docentes tinham mostrado como resolver. Mas, não conseguiam resolver problemas que não conheciam..."
Isso faz um bom tempo...
Qualquer disciplina tem que ser mostrada da seguinte forma:
1) Motivação:
O que aquela disciplina estuda, quer explicar, quer resolver.
Explicitar os principais problemas, conjecturas.
2) Alfabeto, Linguagem, Gramática e Convenções da disciplina.
Cada disciplina tem suas convenções, conjunto de símbolos, regras e "gírias".
Pode parecer chato e desperdício de tempo, mas é fundamental.
3) Princípios e Teoremas
Princípios - a palavra já diz tudo. Podem ser axiomas, postulados, não importa. É a base e, sem ela, a casa cai.
Teoremas e Conjecturas - Odiados por docentes e discentes, pois é o momento de se pensar, mas, pensar dói...
4) Aplicações
A parte de mostrar como a Teoria consegue enquadrar problemas e mostrar soluções, mas, infelizmente é a parte decorada, tanto pelos docentes como pelos discentes...
E o paradoxo fica estabelecido:
Para não se perder tempo e energia cerebral em se compreender os Princípios e Teoremas, armazenando-se somente poucas coisas, gasta-se tempo, energia e um enorme armazenamento cerebral para se decorar problemas e soluções...
5) Diálogos, Discursos e Discussões
É inadmissível e indecente um "docente" projetar os conteúdos da disciplina, compartilhá-los com os discentes e ir embora, com a sensação de dever cumprido, sem que se motive e haja diálogos, discursos e discussões.
As "aulas" passam a ser somente um filme ou exibição de slides mudo, onde alguém lê as legendas para o triste e sonolento público.
Dito isso, tanto para explicar como para desabafar, vou, agora, falar do "Teorema Fundamental da Álgebra" e de suas consequências.
TFA escreveu:
No universo dos Complexos, um polinômio p(x) de grau n (natural não nulo) e an não nulo tem n raízes, sendo que as complexas sempre ocorrem em pares constituídos de um complexo e seu conjugado."
Seja p(x) um polinômio de grau n:
p(x) ≡ anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0
p(x) = 0 ?
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0 = 0
S = { xn ; xn-1 ; ... ; x2 ; x1 }
Dividindo-se cada termo por an :
xn + (an-1/an) xn-1 + (an-2/an) xn-2 + ... + (a2/an) x2 + a1 x + (a0/an) = 0
E, consequentemente, pode ser escrito:
(x - xn ) ( x - xn-1 ) ... (x - x2 ) ( x - x1 ) ≡ 0
Que, desenvolvido, fornece, sinteticamente:
xn - ( xn xn-1 ... x2 x1 ) xn-1 + ... + ( xn + xn-1 + ... + x2 + x1 ) = 0
Pela identidade dos polinômios, tem-se:
xn - (xn xn-1 ... x2 x1) xn-1 + ... + (xn + xn-1 + ... + x2 + x1) ≡ xn + (an-1/an) xn-1 +...+ (a0/an)
Que nos diz:
(xn xn-1 ... x2 x1) = - (an-1/an)
(xn + xn-1 + ... + x2 + x1) = (a0/an)
Obviamente que em concursos, em função da importância elevada do fator tempo, é bom saber "de coração" essas duas últimas relações, que dá o produto e a soma das raízes de qualquer polinômio em função dos coeficientes.
Mas, se por acaso não for relembrado, poderá ser achado, bastando o conhecimento do TFA, de polinômios e complexos.
Se o produto fosse desenvolvido completamente e não sinteticamente, e, pacientemente fossem colocados todos os termos, agrupando-os às respectivas potências da variável independente, chegar-se-ia às "Relações de Newton-Girard", que nada mais são do que somatórios de grupos combinados das raízes, de "um a um" a "n a n".
Experimente fazer para n= 1, 2, 3.
Você mesmo vai descobrir a "regra dos sinais" e a referida "fórmula":
S(i) = (-1)^i * a(n-i) / a(n)
Eu nunca guardei assim, pois penso que é uma forma de se escrever, não de se falar ou guardar...
Guardei assim:
"A relação dos coeficientes para a soma das raízes é positiva, o resto é alternado".
Ou, de outra forma: Os termos pares (começando-se com zero) são positivos e os ímpares...
...Como você toma cinco a cinco? Imagina que as raízes são as horas de um relógio, você vai com o ponteiro pegando elas de cinco em cinco. É como se estivesse girando um círculo.
x1x2x3x4x5 + x2x3x4x5x6 + x3x4x5x6x1 + x4x5x6x1x2 + x5x6x1x2x3 + x6x1x2x3x4+ x1x2x3x4x5
Opa! Voltamos na primeira, já pode parar de girar....
Bom método !
Eu faço de outra forma:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6 }
comb(6; 5) = 6
A primeira combinação: 12345
A ultima (sexta): 23456
Aí, vou me perguntando se posso ir aumentando o último índice (mais à direita) tendo como limite a última combinação, se posso, o faço, se não vou para o índice imediatamente à esquerda, e vou repetindo a pergunta até chegar na final:
12345
12346
12356
12456
13456
23456
Dessa maneira, as combinações ficam "ordenadas".
Termino com essa frase maravilhosa de Rivarol:
Antoine de Rivarol escreveu:
Les méthodes sont les habitudes de l'esprit et les économies de la mémoire.
Os métodos são os hábitos do espírito e as economias da memória.
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
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Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
Eu já li um artigo do Feynman criticando os cursos de Engenharia no Brasil, dizendo que são puro decoreba de fórmulas. Não sei se mudaram muito a proposta, mas em alguns lugares parece que continua o mesmo.
É muito bom saber o Teorema Fundamental da Álgebra para depois cair na fórmula, até porque esse Teorema cai bastante em vestibular de 2ª fase de exatas.
É muito bom saber o Teorema Fundamental da Álgebra para depois cair na fórmula, até porque esse Teorema cai bastante em vestibular de 2ª fase de exatas.
ruanchaves93- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 168
Data de inscrição : 16/02/2016
Idade : 30
Localização : Palmas - TO - Brasil
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
Poderia me passar esse artigo do Feymann?ruanchaves93 escreveu:Eu já li um artigo do Feynman criticando os cursos de Engenharia no Brasil, dizendo que são puro decoreba de fórmulas. Não sei se mudaram muito a proposta, mas em alguns lugares parece que continua o mesmo.
É muito bom saber o Teorema Fundamental da Álgebra para depois cair na fórmula, até porque esse Teorema cai bastante em vestibular de 2ª fase de exatas.
Convidado- Convidado
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
O Brasil não está no mesmo. Está pior.
No fundamental, no médio e no superior...
Mas, existe você e muitas outras pessoas que podem mudar isso.
Não desista !
No fundamental, no médio e no superior...
Mas, existe você e muitas outras pessoas que podem mudar isso.
Não desista !
rihan- Estrela Dourada
- Mensagens : 5049
Data de inscrição : 22/08/2011
Idade : 69
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Itabuna-Ilhéus, BA, Brasil
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
É esse aqui?
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Convidado- Convidado
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
É exatamente esse.
Achei ele traduzido, também.
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ruanchaves93- Recebeu o sabre de luz
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Data de inscrição : 16/02/2016
Idade : 30
Localização : Palmas - TO - Brasil
Re: Relações de Girard e Triângulo de Pascal
Lerei.
Deve ter mudado a educação brasileira, pois os livros modernos os quais eu tenho de Física, são muito bons.
Em 1950, não se investia em educação como hoje, ainda mais na Ditadura.
O que acha, Ruan?
Deve ter mudado a educação brasileira, pois os livros modernos os quais eu tenho de Física, são muito bons.
Em 1950, não se investia em educação como hoje, ainda mais na Ditadura.
O que acha, Ruan?
Convidado- Convidado
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