Áreas de figuras Planas

por luffon Ter Jul 19 2016, 08:26

Em um triangulo ABC os lados são medidos por três números inteiros e consecutivos. O número que mede a área é o mesmo que mede o semiperímetro. Calcule as alturas do ∆ABC.

R: 2.4, 3 e 4.

por **Elcioschin** Ter Jul 19 2016, 09:06

Lados ---> x, x+1, x+2

p = [x + (x+1) + (x+2)]/2 ---> p = 3.(x + 1)/2 ---> p² = 9.(x+1)²/4

Heron ----> S² = p.[p - x].[p - (x+1)].[p - (x+2)]

S = p ---> S² = p²

Deixo as contas para você fazer. Calcule x e depois calcule S

S = h1.x/2 ---> S = h2.(x + 1)/2 ---> S = H3.(x + 2)/2 ---> Calcule H1, H2, H3

por luffon Ter Jul 19 2016, 10:15

Obrigado mestre, acabei caindo em um polinômio de quarto grau e nao consegui prosseguir, pode me ajudar?

por **Elcioschin** Ter Jul 19 2016, 10:29

Então mostre o passo-a-passo da sua solução, para podermos analisar e prosseguir.

Um dos modos é tentar o Teorema das raízes racionais de um polinômio.

por luffon Ter Jul 19 2016, 11:48

S² = p(p-x)[p-(x+1)][p-(x+2)]
p² = [9(x+1)²]/4

{[3(x+1)]/2}.[(x+3)/2].[(x+1)/2].[(x-1)/2] = [9(x+1)²]/4

2x^4 + 8x³ + x² - 14x - 9 =0

a0 = 9 -> p = [+-1,+-3,+-9]
an = 2 -> q = [+-1,+-2]

X deve ser positivo por se tratar de um lado, logo:

p/q = [1, 3, 9, 1/2, 3/2, 9/2]

Aí nenhuma raiz funcionou.

por luffon Ter Jul 19 2016, 12:43

Prolema finalmente solucionado mestre:

Lados: a = x-1, b = x, c=x+1

p = [(x-1) + x + (x+1)]/2
p = 3x/2

p² = S²

(3x/2)² = (3x/2)(x/2 + 1)(x/2)(x/2 - 1)
3x/2 = (x²/4 - 1)(x/2)
x²/8 = 2
x² = 16
x = 4 --> p = 6

p = S = ah1/2 = bh2/2 = ch3/2

3h1/2 = 6 --> h1 = 4
4h2/2 = 6 --> h2 = 3
5h3/2 = 6 --> h3 = 2,4