Circunferências

Sejam C e C' duas circunferências tangentes interiormente de centros O e O'; e de raios R e r (R>r). A perpendicular traçada por O' a reta OO' intersepta C em P e Q. Se M um ponto OO' e interior de C tal que: MP e MQ são tangentes a C', e sabendo que o ângulo PMQ é 90°,determinar R/r.
a)1/2
b)2/3
c)1/3
d)3/5
e)3/2
R:e

Vamos lá!

O triângulo OPQ é isósceles. Os lados OP e OQ são iguais a R.

A altura OO' mede R - r.

Observe o quadrilátero DMCO': todos os ângulos internos são retos, logo MC = r e DM = r

Note que O' é ponto médio de PQ, ou seja, MO' é mediatriz e altura do triângulo QMC. Sendo assim, o triângulo QMC é 
isósceles, ou seja, MQO' = 45º

Observando o triângulo QDO', retângulo em D, pois D é ponto de tangência, podemos verificar que o mesmo também é isósceles, pois QDO' mede 45º, logo o lado QD = r

Então, temos que a medida dos lados QO' é r√2(Basta aplicar Pitágoras ou cos45º no triângulo QDO').

Fazendo Pitágoras no triângulo OO'Q, temos: 
R² = (R - r)² + (r√2)²
R² = R² - 2Rr + r² + 2r²
2Rr = 3r²
2R = 3r
R/r = 3/2