Área de quadrilátero com número complexo

por EsdrasCFOPM Ter 16 maio 2017, 19:47

Admitindo-se que os números complexos z e $\bar{z}$ (conjugado de z), são tais que os pontos de intersecção dos lugares geométricos que representam as soluções das equações z. $\bar{z}$ =9 e z² = ( $\bar{z}$ )² são vértices de um quadrilátero, pode-se afirmar que o valor da área, em u.a., desse quadrilátero, é

01) 18
02) 12
03) 9
04) 6
05) 3

por EsdrasCFOPM Qui 18 maio 2017, 06:05

Up!

Apenas cheguei na seguinte conclusão:

z. $Área de quadrilátero com número complexo Gif$ =9
(a+bi).(a-bi)=9
a²+b²=9 (circunferência de raio 3 com centro na origem)

z² = ( $Área de quadrilátero com número complexo Gif$ )²2abi=-2abi

por **Victor011** Qui 18 maio 2017, 07:40

o seu raciocínio está certo. Agora só falta concluir. Da última equação que você escreveu, temos que:
4abi=0, ou seja, a=0 ou b=0 (isso representa todos os pontos sobre os eixos coordenados).
logo, queremos a área formada pelos pontos de intercessão da circunferência com os eixos. Note que formará um quadrado cuja diagonal é o diâmetro, logo:
l√2=6
l=3√2
A=l²=12

por EsdrasCFOPM Qui 18 maio 2017, 08:11

Obrigado!

Uma dúvida: o que garante que é um vértice oposto e não adjacente (para ser a medida da diagonal)? O fato de que o quadrado deve estar inscrito na circunferência?

Outra dúvida: a área não deveria ser 18 não?

l=3√2
l²=9.2 --> l²=A=18

por EsdrasCFOPM Dom 21 maio 2017, 07:46

por **Victor011** Dom 21 maio 2017, 21:51

Área de quadrilátero com número complexo Sem_ty13

Note que, pelo desenho, AC e BD são as diagonais (vértices opostos). Não tem como vértices adjacentes formarem diagonais. Quanto a outra dúvida, você está certo, a área correta seria 18 mesmo.
OBS (prova real): note que os pontos de coordenadas A(0,3), B(3,0), C(0,-3), D(-3,0) representam os complexos 3i, 3, -3i, -3, respectivamente e que eles, de fato, satisfazem às condições do problema (z. $Área de quadrilátero com número complexo Gif$ =9 e z² = ( $Área de quadrilátero com número complexo Gif$ )²).