Base de numeração

Em uma cidade o sistema de numeração é posicional de base k de tal forma que em uma escola há (1000)_k alunos, sendo (230)_k meninos e (300)_k meninas. Pode-se garantir que a base k é igual a:

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

alansilva escreveu:Em uma cidade o sistema de numeração é posicional de base k de tal forma que em uma escola há (1000)_k alunos, sendo (230)_k meninos e (300)_k meninas. Pode-se garantir que a base k é igual a:

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Boa noite, alansilva.

_230
_300
------
1000

3+0 = 0, sugere que a parcela 0 é complemento de 3 para 0 do total.
Nesse caso, a soma é 0 (redondo) e "vai um".
'1'+2+3 =10
6 = 10 donde se depreende que a base seja igual a 6.

Mas quer-me parecer que então, o 0 debaixo do 3 deveria ser um 3.
Vejamos se alguém mais, aqui, consegue chegar a uma conclusão lógica.



Um abraço.

Ivomilton, boa noite!
Não consegui entender seu raciocínio

alansilva escreveu:Ivomilton, boa noite!
Não consegui entender seu raciocínio

Boa noite, Alan.

Vou colocar aqui como funciona o cálculo de um número no sistema decimal.
Para isso usarei número 2456 (base 10) em suas diversas casas decimais:
2*10³ + 4*10² + 5*10¹ + 6*10° = 2000 + 400 + 50 + 6 = 2456

Agora, veja como ficaria esse mesmo número se fosse escrito noutra base.
Usaremos, para exemplo, a base k:
2*k³ + 4*k² + 5*k¹ + 6*k° = 2k³ + 4k² + 5k + 6

A seguir, aplicaremos esse entendimento à nossa questão:
230_k + 300_k = 1000_k

Escrevendo esse número conforme explicado mais acima, fica:
2k²+3k+0 + 3k²+0k+0 = 1k³ + 0k² + 0k + 0

Eliminando os termos nulos, fica:
2k² + 3k + 3k² = 1k³

Logo, algebricamente, fica:
k³ - 5k² - 3k = 0

Colocando-se k (fator comum) em evidência, vem:
k(k² - 5k - 3) = 0

Sabemos que, para o resultado acima ser nulo, bastará que qualquer dos dois fatores que compõem o primeiro membro seja igual a zero:
k=0 → k'=0
k²-5k-3=0 → k"= (5 + √37)/2 ≈ 5,54 → desprezamos k'" por ser inadequada, ou seja, negativa.

Como a base k só poderá ser um número inteiro, arredondando valor encontrado, temos k≈6.

Entretanto, observando bem os dados da questão, notei que a parcela 300_k deveria (ou seria melhor) ser igual a 330_k; explicarei por que. Se tivéssemos 330 em lugar de 300, os cálculos acima ficariam:
2k²+3k+0 + 3k²+3k+0 = 1k³ + 0k² + 0k + 0

Eliminando os termos nulos, fica:
2k² + 6k + 3k² = 1k³

Logo, algebricamente, fica:
k³ - 5k² - 6k = 0

Colocando-se k (fator comum) em evidência, vem:
k(k² - 5k - 6) = 0

k=0 → k'=0
k=k²-5k-6=0 → k"=6 (desprezaremos a outra raiz (k'") por ser negativa)

Nesse caso (trocando 300 por 330) o valor da base k ficaria sendo 6 (inteiro) como normalmente deve
ser o valor de uma base numérica.

Espero que desta maneira o amigo consiga compreender a resolução.



Um abraço.

Deve haver algum erro no enunciado:

1000_k = 1.k³ + 0.k² + 0.k¹ + 0.k⁰ = k³

230_k = 2.k² + 3.k + 0 = 2.k² + 3.k

300_k = 3.k² + 0.k + 0 = 3.k²

k³ = (2.k² + 3.k) + 3.k² ---> k³ = 5.k² + 3.k ---> :k ---> k² - 5.k - 3 = 0

Não existem raízes inteiras. Favor verificar enunciado.

Elcioschin escreveu:Deve haver algum erro no enunciado:

1000_k = 1.k³ + 0.k² + 0.k¹ + 0.k⁰ = k³

230_k = 2.k² + 3.k + 0 = 2.k² + 3.k

300_k = 3.k² + 0.k + 0 = 3.k²

k³ = (2.k² + 3.k) + 3.k² ---> k³ = 5.k² + 3.k ---> :k ---> k² - 5.k - 3 = 0

Não existem raízes inteiras. Favor verificar enunciado.

Boa noite, prezado Elcio.

Pesquisei a respeito pelo Google e em vários sites encontrei os mesmos dados, com gabarito C, de modo que quanto ao que o amigo pede, são esses mesmos os dados expressos na referida questão.

No meu entender, a parcela 300 deveria ser 330, o que tornaria igual a 6 inteiros o valor da base k.



Forte abraço.

Prezados,
O enunciado é exatamente este que está acima.

Isto significa que o enunciado está ERRADO. Se fosse numa prova, a questão seria passível de ser anulada.

Eu concordo!