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(Unirio-96) - combinação de barracas

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Mensagem por Paulo Testoni Sex 11 Fev 2011, 19:48

(Unirio-96) Um grupo de 9 pessoas, dentre elas os irmãos João e Pedro, foi acampar. Na hora de dormir montaram 3 barracas diferentes, sendo que, na primeira, dormiram duas pessoas; na segunda, três pessoas; e, na terceira, as quatro restantes. De quantos modos diferentes eles se podem organizar, sabendo que a única restrição é a de que os irmãos João e Pedro NÃO podem dormir na mesma barraca?
a) 1260.
b) 1225.
c) 1155.
d) 1050.
e) 910.
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Mensagem por Jeffson Souza Qui 24 Fev 2011, 20:26

Olá amigo Paulo.

Colocarei o caminho trilhado por minha pessoa a resolução do enunciado.

Primeiro achei melhor resolver como seria todas as possibilidades possíveis e subtrair da mesma a quantidade de vezes aparecem eles juntos.

Para a primeira barraca temos uma combinação de C9,2 .

Depois na segunda barraca uma combinação de C7,3

Na terceira uma combinação de C4,4

T=total de possibilidades

T=C9,2*C7,3*C44
T=1260


Agora pensaremos no seguinte caso:

João e Pedro juntos na primeira barraca restaram 7 pessoas para as demais barraca.

João e Pedro .... C7,3_ _ _ ...... C4,4_ _ _ _

T2=total de maneiras de João e Pedro na primeira barraca

T2=C7,3*C4,4

T2=35

João e Pedro juntos na segunda barraca restaram 7 pessoas para as demais barraca.

C7,2_ _ ..... C5,1 João e Pedro _ .......C4,4 _ _ _ _


T3=total de maneiras de João e Pedro na segunda barraca
T3=C7,2*C5,1*C4,4

T3=105


João e Pedro juntos na terceira barraca restaram 7 pessoas para as demais barraca.

C7,2..._ _.....C5,3.._ _ _ .......C2,2_ _ João e Pedro

T4=total de maneiras de João e Pedro na terceira barraca
T4=C7,2*C5,3*C2,2
T4=210


M=maneiras possíveis conforme o enunciado

M=T-(T1+T2+T3)

M=1260-(210+105+35)

M=910

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Mensagem por Paulo Testoni Qui 24 Fev 2011, 21:19

Hola Jeffson Souza .

Parabéns pela bela solução.
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Mensagem por Paulo Testoni Sab 26 Fev 2011, 18:14

Hola Jeffson.

Vc cada vez mais está se superando. Eu também havia pensado dessa maneira.
Veja uma outra forma de resolver:

Vamos amarrar o Pedro dentro da barraca n.º 1.
Ficamos com: 9 - 1= 8 pessoas.
Agora vamos deixar o outro irmão (João) fora da barraca n.º1.

1) Dessa forma ficamos com: 8 - 1 = 7 pessoas. Dessas 7 pessoas devemos escolher uma para ocupar a barraca de n.º1 com o Pedro, isso pode ser feito de C7,1 = 7 maneiras.

2) Sobram 7 - 1 = 6 + João (que ficou de fora na escolha da barraca n.º1) = 7 pessoas para ocuparem a barraca n.º2. Dessas 7 pessoas devemos escolher 3 para ocuparem a essa barraca, isso pode ser feito de C7,3 = 35 maneiras

3) Sobram 7 - 3 = 4 pessoas para ocuparem a barraca de n.º3. Essa escolha pode ser feita de C4,4 = 1 maneira. Na realidade a última das barracas em qualquer sentido sempre estará automaticamente definida.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:

C7,1 * C7,3 * C4,4 = 7*35*1 = 245

Observação importante sobre o caso 3):
Enquanto o Pedro está amarrado dentro da Barraca n.º1 o seu irmão o João ora está na barraca n.º 2, ora está na barraca n.º 3. Vale salientar ainda que o Pedro pode ainda trocar de lugar com o seu irmão João na barraca n.º1. Nesse caso teremos:
245*2 = 490 maneiras.

Continuando:
Vamos amarrar o Pedro dentro da barraca n.º2.
Ficamos com: 9 - 1= 8 pessoas.
Agora vamos deixar o outro irmão (João) fora da barraca n.º2.

4) Dessa forma ficamos com: 8 - 1 = 7 pessoas. Dessas 7 pessoas devemos escolher duas para ocuparem a barraca de n.º2 com o Pedro, isso pode ser feito de C7,2 = 21 maneiras.

5) Sobram 7 - 2 = 5 + João(que ficou de fora na escolha da barraca n.º2) = 6 pessoas para ocuparem a barraca n.º3. Agora vamos amarrar o João dentro dessa barraca n.º3, para que ele não vá para a barraca n.º1, pois ele já esteve lá bem como o seu irmão Pedro. Isso pode ser feito de C5,3 = 21 maneiras.

6) Sobram 5 - 3 = 2 pessoas para ocuparem a barraca de n.º1. Essa escolha pode ser feita de C2,2 = 1 maneira. Na realidade a última das barracas em qualquer sentido sempre estará automaticamente definida.

Pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos:

C2,2 * C7,2 * C5,3 = 1*21*10 = 210

Observação importante sobre o caso 6):
João e Pedro podem trocar de posição dentro das barracas de n.º2 e n.º3 de duas maneiras. Nesse caso teremos:
210*2 = 420 maneiras.

Somando tudo: 490 + 420 = 910.

Ficou um pouco extenso devido as explicações. Dessa forma fica bem evidenciado o mecanismo do que acontece nas barracas.
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Mensagem por Jeffson Souza Dom 06 Mar 2011, 10:57

Excelente explicação amigo Paulo.

O que é legal da analise combinatória são os diversos raciocínios para a resolução de um enunciado.

Valeu e parabéns pela solução
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Mensagem por abidula100 Qui 14 Jun 2012, 21:22

@Jeffson Souza escreveu:Olá amigo Paulo.

Jeferson, me tire uma dúvida.

Todas as maneiras diferentes que podemos organizar as barracas seria com todas as pessoas passando por todas as barracas. Correto? O correto para achar todas as combinações não seria utilizar o método seguinte: C9,2(tirando uma chance de cair os dois irmãos juntos) + C9,3 (tirando sete chances de cair os irmãos juntos) + C9,4 (também tirando as chances deles cairem juntos, que no caso é 21).

Não era para dar certo também, lembrando que organizamos de todas as maneiras possiveis?????

Grato

Colocarei o caminho trilhado por minha pessoa a resolução do enunciado.

Primeiro achei melhor resolver como seria todas as possibilidades possíveis e subtrair da mesma a quantidade de vezes aparecem eles juntos.

Para a primeira barraca temos uma combinação de C9,2 .

Depois na segunda barraca uma combinação de C7,3

Na terceira uma combinação de C4,4

T=total de possibilidades

T=C9,2*C7,3*C44
T=1260


Agora pensaremos no seguinte caso:

João e Pedro juntos na primeira barraca restaram 7 pessoas para as demais barraca.

João e Pedro .... C7,3_ _ _ ...... C4,4_ _ _ _

T2=total de maneiras de João e Pedro na primeira barraca

T2=C7,3*C4,4

T2=35

João e Pedro juntos na segunda barraca restaram 7 pessoas para as demais barraca.

C7,2_ _ ..... C5,1 João e Pedro _ .......C4,4 _ _ _ _


T3=total de maneiras de João e Pedro na segunda barraca
T3=C7,2*C5,1*C4,4

T3=105


João e Pedro juntos na terceira barraca restaram 7 pessoas para as demais barraca.

C7,2..._ _.....C5,3.._ _ _ .......C2,2_ _ João e Pedro

T4=total de maneiras de João e Pedro na terceira barraca
T4=C7,2*C5,3*C2,2
T4=210


M=maneiras possíveis conforme o enunciado

M=T-(T1+T2+T3)

M=1260-(210+105+35)

M=910


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Mensagem por GuilhermeSS Qua 30 Jun 2021, 20:15

@Jeffson Souza escreveu:Olá amigo Paulo.

Colocarei o caminho trilhado por minha pessoa a resolução do enunciado.

Primeiro achei melhor resolver como seria todas as possibilidades possíveis e subtrair da mesma a quantidade de vezes aparecem eles juntos.

Para a primeira barraca temos uma combinação de C9,2 .

Depois na segunda barraca uma combinação de C7,3

Na terceira uma combinação de C4,4

T=total de possibilidades

T=C9,2*C7,3*C44
T=1260


Agora pensaremos no seguinte caso:

João e Pedro juntos na primeira barraca  restaram 7 pessoas para as demais barraca.

João e Pedro .... C7,3_ _ _ ...... C4,4_ _ _ _

T2=total de maneiras de João e Pedro na primeira barraca

T2=C7,3*C4,4

T2=35

João e Pedro juntos na segunda barraca  restaram 7 pessoas para as demais barraca.

C7,2_ _ ..... C5,1 João e Pedro _  .......C4,4 _ _ _ _


T3=total de maneiras de João e Pedro na segunda barraca
T3=C7,2*C5,1*C4,4

T3=105


João e Pedro juntos na terceira barraca  restaram 7 pessoas para as demais barraca.

C7,2..._ _.....C5,3.._ _ _  .......C2,2_ _ João e Pedro

T4=total de maneiras de João e Pedro na terceira barraca
T4=C7,2*C5,3*C2,2
T4=210


M=maneiras possíveis conforme o enunciado

M=T-(T1+T2+T3)

M=1260-(210+105+35)

M=910


o Motivo de não se dividir C9,2*C7,3*C44 por 3! para retirar as repetições, se da pelo enunciado dizer que há "apenas" a restrição relacionada a João e Pedro?
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