Mecânica - Vetores

por Luck Sáb 05 Fev 2011, 21:54

A fim de remover um caminhão acidentado, dois cabos são atados ao caminhão em A, e puxados por dois guinchos B e C, como é ilustrado. Determinar o módulo da resultante das forças exercidas sobre o caminhão pelos dois cabos, sabendo-se que a tração no cabo AB é 10kN e no cabo AC é de 7,5 kN.
Mecânica - Vetores 234

R. 15,09 kN

por **Euclides** Sáb 05 Fev 2011, 23:23

Luck,

assim, de cara, achei que isso vai dar muita geometria e trabalho. Resolvi experimentar uma abordagem puramente vetorial e fiz o seguinte:

1) montei um diagrama 3D das posições representando os vetores. Usei um fator multiplicador para traduzir as posições como forças.

2) calculei esses fatores multiplicadores e escrevi as forças como vetores em R³

3) somei vetorialmente

4) a minha escolha e as aproximações necessárias me levaram a um resultado aproximado

Mecânica - Vetores Troko

$\dpi{120} \dpi{120} \dpi{120} \\\overrightarrow{AB}=(18m\vec{i}+15m\vec{j}-12m\vec{k})\;\to\;10=m\sqrt{18^2+15^2+12^2}\;\to\;m=0,380\\\\\overrightarrow{AC}=(18n\vec{i}+18,6n\vec{j}+15n\vec{k})\;\to\;7,5=n\sqrt{18^2+18,6^2+15^2}\;\to\;n=0,251\\\\\overrightarrow{AB}=(6,84\vec{i}+5,78\vec{j}-4,56\vec{k})\hspace{50}\overrightarrow{AC}=(4,52\vec{i}+4,67\vec{j}+3,77\vec{k})\\\\\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(11,36\vec{i}+10,45\vec{j}-0,79\vec{k})\\\\|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}|=\sqrt{11,36^2+10,45^2+0,79^2}\;\to\;15,5\,kN$

por Luck Sáb 05 Fev 2011, 23:55

Ótima solução Euclides, vlw! Eu tinha achado as coordenadas e esqueci de no final calcular a soma por pitágoras:

Tab = |Tab|.u
ab (18i, 6i , -12k)
R = 18²+6²+12² =~22,4
u = (18/22 ; 6/22 ; 12/22)

Tab = 10.u
Tab = 10(18/22 ; 6/22 ; 12/22)
Tab = (8; 2,67 ; -5,35)

Tbc = |Tbc|.u
bc (18i; 9,6j ; 15k) R=~ 25,32
u = (18/25 ; 9,6/25 ; 15/25)
Tbc = 7,5 (18/25 ; 9,6/25 ; 15/25)
Tbc = (5,44 ; 2,84; 4,45)

|Tab+Tbc| = sqrt ( 13,33² + 5,51² + 0,9² ) =~ 14,45 kN

por Viniciuscoelho Dom 06 Fev 2011, 08:57

Talvez, a desigualdade em relação ao gabarito deva-se ao 30º, que não está muito claro o que seja. Interpretei como sendo um desnível, isto é, o terreno em que o caminhão está possui uma variação de 30º com a horizontal.
Figura:
Mecânica - Vetores 123nyl

por **Euclides** Dom 06 Fev 2011, 12:58

Grande Vinícius! tem toda razão. Eu passei batido e nem sequer vi a indicação do ângulo... isso vai elevar as duas alturas em 9m cada uma.

Vou editar com as novas alturas. O êrro agora é de 1% é pode ser creditado às aproximações de cálculo.

por Viniciuscoelho Dom 06 Fev 2011, 21:44

Tem razão, Mestre Euclides, a altura aumenta em 9 metros, errei no cálculo ao considerar 18m como cateto, ele é hipotenusa tal como o fez.

por Luck Seg 07 Fev 2011, 09:47

Ótima observação Vinicius, eu tb tinha esquecido do ângulo de 30º. Flws! Very Happy

por Luck Seg 14 Fev 2011, 02:11

Euclides escreveu:Grande Vinícius! tem toda razão. Eu passei batido e nem sequer vi a indicação do ângulo... isso vai elevar as duas alturas em 9m cada uma.

Vou editar com as novas alturas. O êrro agora é de 1% é pode ser creditado às aproximações de cálculo.

Depois de calcular o a parte do desnível referente a altura (que é 9m), ficou faltando calcular o de x tb, que no caso é 9sqrt(3), acho que assim o resultado deve bater certinho com gabarito...