Triângulo

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Triângulo

Mensagem por Presa em Seg Maio 30 2016, 23:55

No triângulo ABC, temos BC = 2AC. Seja M o ponto médio de BC. A reta passando por M e tangente  à circunferência inscrita em ABC encontra o lado AB no ponto N. Qual o valor de AN/AB ?
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Re: Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Ter Maio 31 2016, 22:05

Gabarito ?
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Re: Triângulo

Mensagem por Medeiros em Qua Jun 01 2016, 04:40

Arriscaria dizer: 1 - √3/3 =~ 42%
mas é necessário mostrar para um caso geral.
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Re: Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Sex Jun 03 2016, 19:25

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Re: Triângulo

Mensagem por Medeiros em Sab Jun 04 2016, 04:02

Raimundo
raciocínio muito bom mas...

Prolegômenos: Não lembro mais quais contas fiz para chegar naquele "arriscaria dizer" da minha mensagem anterior, sei apenas que parti de um triângulo retângulo em C. Contudo, andei observando, através de esboços à mão livre, que aparentemente qualquer posição do segmento AC, quando variamos o ângulo C de 0° < ^C < 180°, mantém a mesma relação AN/AB. Por isto entendi que este problema merece uma solução geral e descartei a minha (particularíssima).

Achei muito bom o encaminhamento que você deu à solução mas realmente não entendi -- e não sei como se pode garantir -- os seguintes detalhes que anotei no seu desenho:
a) a igualdade dos "x" circulados em verde;
b) a congruência grifada em amarelo no texto.

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Re: Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Sab Jun 04 2016, 12:22

Oi Medeiros ,
O que pensei, baseado num triâng. isósceles.
Se CM=BM=x
Os segmentos anexos aos ângs ^C medem X , então CM-x=X , isso vale para os outros segmentos tangentes anexos ao ponto médio M , conseq. responde o ítem b.
Eu já havia esquecido essa questão, porque o nosso clg não postou o gabarito  e eu também tinha questionamentos. 
Antes de tentar me "elocubrar" numa teoria que não domino , gostaria de ver o gabarito. abs
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Re: Triângulo

Mensagem por Medeiros em Sab Jun 04 2016, 14:11

Raimundo,
última forma, considero sua resolução perfeita. [Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.]
E me desculpe pela objeção anterior, eu é que ando com a cabeça cansada e não percebi antes.

Por construção, AC = CM = 2x (do enunciado). Sendo ABC isósceles (condição imposta), a circunferência tangencia AC no seu ponto médio, portanto x para cada lado. Logo a distância de C até o ponto onde a circunferência tangencia o segmento CM também vale x (tangentes à circunf. por um ponto C externo); por conseguinte sobra x para a distância entre este ponto e M.
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Re: Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Sab Jun 04 2016, 14:29

Vlw! Medeiros é sempre um incentivo.
Na verdade eu desistir desse probl depois de centenas de tentativas.
Acredite se quiser. Estava no metrô, e sentei ao lado de um rapaz lendo uma apostila de geometria que continha um exerc sobre bissetriz interna. Aí caiu a ficha;  tinha pensado em mil coisas menos na bissetriz interna, (Q) da questão. grt
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Re: Triângulo

Mensagem por Presa em Seg Jun 06 2016, 13:40

raimundo pereira escreveu:[Você precisa estar registrado e conectado para ver esta imagem.] Questão Linda !! Muito Obrigado !!!
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Re: Triângulo

Mensagem por raimundo pereira em Seg Jun 06 2016, 19:15

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