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Torneio das Cidades - Geometria (OBM)

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Mensagem por elias.aragao Dom 29 maio 2016, 21:44

(TORNEIO DAS CIDADES) ABC é um triângulo com ângulo C = 90°. As duas tangentes ao incírculo de ABC que são perpendiculares a AB encontram AB em P e Q. Determine o ângulo PCQ.



Grato!!
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Mensagem por Medeiros Dom 29 maio 2016, 22:55

Vou resolver partindo de um conhecimento meu anterior (aliás, uma resolução dada aqui no fórum não faz muito tempo), qual seja, a formação de triângulos isósceles -- fica muito mais rápido e torna a figura mais leve. E posto, na sequência, uma figura que demonstra aquele conhecimento anterior.

Torneio das Cidades - Geometria (OBM) 33o5spf

O desenho do conhecimento antigo:
Torneio das Cidades - Geometria (OBM) 4kfazk
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Mensagem por elias.aragao Dom 29 maio 2016, 23:05

Por que os triângulos CPP' e CQQ' são isósceles?
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Mensagem por Medeiros Dom 29 maio 2016, 23:16

elias.aragao escreveu:Por que os triângulos CPP' e CQQ' são isósceles?
Isso foi demonstrado na segunda figura, conforme avisei na introdução da minha resposta. Note que:
1) o incentro é o encontro das bissetrizes;
2) para a figura do seu problema ficar igual à figura da demonstração, basta tirar a circunferência inscrita e desenhar as bissetrizes dos ângulos agudos. No fundo, é o mesmo problema.
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Mensagem por Medeiros Seg 30 maio 2016, 02:08

Elias

Tem um modo mais fácil de você enxergar que aqueles triângulos são isósceles. Veja:

Torneio das Cidades - Geometria (OBM) 24febn8

Você não tem dúvidas de que a bissetriz do ângulo ^B vai exatamente a P', né? Assim como a do  vai a Q'.

A congruência dos triângulos BCP' e BPP' também poderia ser admitida, e de modo mais expedito, pelo caso LAAo -- lado, ângulo, ângulo oposto de 90° -- pois são triângulos retângulos com a mesma hipotenusa; mas este caso é menos comum e muitos desconhecem.
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Mensagem por elias.aragao Seg 30 maio 2016, 10:55

"Você não tem dúvidas de que a bissetriz do ângulo ^B vai exatamente a P', né?"
Sim, por que a bissetriz vai exatamente à P' ou Q'?


Fora isso, entendi tudo.
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