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Transformação Trigonometrica

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Mensagem por GreenLook Seg 23 maio 2016, 16:14

Provar que tg(81) + tg(9) - tg(63) - tg(27) = 4
Utilizei as formulas de Werner para soma e subtração de tangentes mas não está dando certo.
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Mensagem por gabrieldpb Seg 23 maio 2016, 17:15

Olhe só 

\tan{81\degree}+\tan{9\degree}-\tan{63\degree}-\tan{27\degree}=\frac{\sin{81\degree}}{\cos{81\degree}}+\frac{\sin{9\degree}}{\cos{9\degree}}-\frac{\sin{63\degree}}{\cos{63\degree}}-\frac{\sin{27\degree}}{\cos{27\degree}}=

=\frac{\sin{81\degree}\cos{9\degree}+\sin{9\degree}\cos{81\degree}}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{\sin{63\degree}\cos{27\degree}+\sin{27\degree}\cos{63\degree}}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=

=\frac{\sin{(81\degree+9\degree)}}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{\sin{(63\degree+27\degree)}}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=

=\frac{\sin{90\degree}}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{\sin{90\degree}}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=\frac{1}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{1}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=

Se lembre que cos(81º)=sen(9º) e cos(63º)=sen(27º)

=\frac{2}{2\sin{9\degree}\cos{9\degree}}-\frac{2}{2\sin{27\degree}\cos{27\degree}}=\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\sin{54\degree}}=

\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\sin{54\degree}}=\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\cos{36\degree}}

Você sabe que cos(2a)=1-2sen²(a/2)

Logo \sin{18\degree}=\sqrt{\frac{1-\cos{36\degree}}{2}}

\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\cos{36\degree}}=2(\sqrt{\frac{2}{1-\cos{36\degree}}}-\frac{1}{\cos{36\degree}})=

Você sabe que \cos{36\degree}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

Então nossa expressão fica:

2(2\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{5}}}-\frac{4}{1+\sqrt{5}})

Racionalizando os termos e organizando você vê que:

2(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-1-\sqrt{5})=2(\sqrt{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}-(\sqrt{5}-1))


2(1+\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1))=4

Não pensei num modo mais rápido, se você tiver uma ideia, a gente discute.

Abraço!
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Mensagem por GreenLook Seg 23 maio 2016, 21:21

Valeu Gabriel!! Consegui achar meu erro vendo a sua resolução. Tentei achar um caminho mais rápido utilizando outras fórmulas de Werner mas deu quase na mesma rsrs. Obrigado.
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Mensagem por Andre Ampère Qua 21 Fev 2018, 12:13

Um modo mais rápido, a partir da primeira parte da 6ª linha de resolução:


Como 
Então: 
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Mensagem por LMaciel Dom 28 Jul 2024, 21:06

Eu achei a seguinte resolução quando estava tentando resolver essa questão:

Transformação Trigonometrica 20240711Transformação Trigonometrica 20240711Transformação Trigonometrica 20240711Transformação Trigonometrica 20240711
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Mensagem por LMaciel Dom 28 Jul 2024, 21:09

Eu achei a seguinte resolução quando estava tentando resolver essa questão:

Transformação Trigonometrica 20240712
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Mensagem por Giovana Martins Seg 23 Set 2024, 22:00

Uma outra saída:

\[\mathrm{Seja\ tan(5\theta )=1\ \therefore\ \theta =\frac{\pi }{20}+\frac{k\pi }{5}, k\in \mathbb{Z} \ \therefore\ k=(0,1,2,3,4)\to \theta = \left ( \frac{\pi }{20},\frac{\pi }{4},\frac{9\pi }{20},\frac{13\pi }{20},\frac{17\pi }{20} \right )}\]

Não vou explicitar, mas a partir das identidades trigonométricas abaixo:

\[\mathrm{tan(\alpha \pm \beta)=\frac{tan(\alpha )+tan(\beta )}{1\pm tan(\alpha )tan(\beta )}}\]

Chegamos em:

\[\mathrm{tan(5\theta )=\frac{tan^{5}(\theta )-10tan^{3}(\theta )+5tan(\theta )}{5tan^{4}(\theta )-10tan^{2}(\theta )+1}=1\to tan^{5}(\theta )-5tan^{4}(\theta )-10tan^{3}(\theta )-5tan^{5}(\theta )-1=0}\]

Por Girard:

\[\mathrm{tan\left ( \frac{\pi }{20} \right )+tan\left ( \frac{\pi }{4} \right )+tan\left ( \frac{9\pi }{20}\right )+tan\left ( \frac{13\pi }{20}\right )+tan\left ( \frac{17\pi }{20}\right )=5}\]

Sendo:

\[\mathrm{tan\left ( \pi -\alpha \right )=-tan(\alpha ) }\]

Tem-se:

\[\mathrm{tan\left ( \frac{\pi }{20} \right )+1+tan\left ( \frac{9\pi }{20}\right )-tan\left ( \frac{7\pi }{20}\right )-tan\left ( \frac{3\pi }{20}\right )=5}\]

\[\mathrm{\therefore\ \boxed{\mathrm{tan\left ( \frac{\pi }{20} \right )+tan\left ( \frac{9\pi }{20}\right )-tan\left ( \frac{7\pi }{20}\right )-tan\left ( \frac{3\pi }{20}\right )=4}}}\]

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