Transformação Trigonometrica

por GreenLook Seg 23 maio 2016, 16:14

Provar que tg(81) + tg(9) - tg(63) - tg(27) = 4
Utilizei as formulas de Werner para soma e subtração de tangentes mas não está dando certo.

por **gabrieldpb** Seg 23 maio 2016, 17:15

Olhe só

\tan{81\degree}+\tan{9\degree}-\tan{63\degree}-\tan{27\degree}=\frac{\sin{81\degree}}{\cos{81\degree}}+\frac{\sin{9\degree}}{\cos{9\degree}}-\frac{\sin{63\degree}}{\cos{63\degree}}-\frac{\sin{27\degree}}{\cos{27\degree}}=

=\frac{\sin{81\degree}\cos{9\degree}+\sin{9\degree}\cos{81\degree}}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{\sin{63\degree}\cos{27\degree}+\sin{27\degree}\cos{63\degree}}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=

=\frac{\sin{(81\degree+9\degree)}}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{\sin{(63\degree+27\degree)}}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=

=\frac{\sin{90\degree}}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{\sin{90\degree}}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=\frac{1}{\cos{9\degree}\cos{81\degree}}-\frac{1}{\cos{27\degree}\cos{63\degree}}=

Se lembre que cos(81º)=sen(9º) e cos(63º)=sen(27º)

=\frac{2}{2\sin{9\degree}\cos{9\degree}}-\frac{2}{2\sin{27\degree}\cos{27\degree}}=\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\sin{54\degree}}=

\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\sin{54\degree}}=\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\cos{36\degree}}

Você sabe que cos(2a)=1-2sen²(a/2)

Logo \sin{18\degree}=\sqrt{\frac{1-\cos{36\degree}}{2}}

\frac{2}{\sin{18\degree}}-\frac{2}{\cos{36\degree}}=2(\sqrt{\frac{2}{1-\cos{36\degree}}}-\frac{1}{\cos{36\degree}})=

Você sabe que \cos{36\degree}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

Então nossa expressão fica:

2(2\sqrt{\frac{2}{3-\sqrt{5}}}-\frac{4}{1+\sqrt{5}})

Racionalizando os termos e organizando você vê que:

2(\sqrt{6+2\sqrt{5}}-1-\sqrt{5})=2(\sqrt{1^2+2\cdot1\cdot\sqrt{5}+(\sqrt{5})^2}-(\sqrt{5}-1))

2(1+\sqrt{5}-(\sqrt{5}-1))=4

Não pensei num modo mais rápido, se você tiver uma ideia, a gente discute.

Abraço!

por GreenLook Seg 23 maio 2016, 21:21

Valeu Gabriel!! Consegui achar meu erro vendo a sua resolução. Tentei achar um caminho mais rápido utilizando outras fórmulas de Werner mas deu quase na mesma rsrs. Obrigado.

por Andre Ampère Qua 21 Fev 2018, 12:13

Um modo mais rápido, a partir da primeira parte da 6ª linha de resolução:
$\frac{2}{sen18º}-\frac{2}{sen54º} = 2(\frac{1}{sen18}-\frac{1}{sen54})= 2(\frac{sen54-sen18}{sen18.sen54}) = 2(\frac{2sen18.cos36}{sen18.sen54}) = 4(\frac{cos36}{sen54})$

Como $sen54=cos(90-54)=cos36$
Então: $4(\frac{cos36}{cos36})=4$